Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{5} w^{2} \ln (w) d w$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (w)$ y $d v = w^{2}$ .

$\ln (w) (\frac{1}{3} w^{3})]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $w^{3}$ .

$\ln (w) \frac{w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Paso 2.2

Combina $\ln (w)$ y $\frac{w^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \int_{1}^{5} \frac{1}{3} w^{3} \frac{1}{w} d w$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $w$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{3} \frac{1}{w} d w)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $w^{3}$ y $\frac{1}{w}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{3}}{w} d w)$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $w^{3}$ y $w$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $w$ de $w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w} d w)$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $w$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w^{1}} d w)$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $w$ de $w^{1}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w \cdot w^{2}}{w \cdot 1} d w)$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} \frac{w^{2}}{1} d w)$

Paso 4.2.2.5

Divide $w^{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w)$

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \int_{1}^{5} w^{2} d w$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $w^{2}$ con respecto a $w$ es $\frac{1}{3} w^{3}$ .

$\frac{\ln (w) w^{3}}{3}]_{1}^{5} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{\ln (w) w^{3}}{3}$ en $5$ y en $1$ .

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} w^{3}]_{1}^{5}$

Paso 6.2

Evalúa $\frac{1}{3} w^{3}$ en $5$ y en $1$ .

$(\frac{\ln (5) \cdot 5^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{\ln (5) \cdot 125}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.2

Mueve $125$ a la izquierda de $\ln (5)$ .

$\frac{125 \cdot \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.4

Multiplica $\ln (1)$ por $1$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.5

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.6

Combina $\frac{1}{3}$ y $125$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Paso 6.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Paso 6.3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{125}{3} - \frac{1}{3})$

Paso 6.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{125 - 1}{3}$

Paso 6.3.10

Resta $1$ de $125$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{124}{3}$

Paso 6.3.11

Multiplica $\frac{124}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{3 \cdot 3}$

Paso 6.3.12

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{124}{9}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{125 \ln (5) - \ln (1)}{3} + \frac{- 124}{9}$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$\frac{125 \ln (5) - 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

Paso 7.2.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{125 \ln (5) + 0}{3} + \frac{- 124}{9}$

Paso 7.3

Suma $125 \ln (5)$ y $0$ .

$\frac{125 \ln (5)}{3} + \frac{- 124}{9}$

Paso 7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{125 \ln (5)}{3} - \frac{124}{9}$

Forma decimal:

$53.28213524 \dots$