Cálculo Ejemplos

$\int \ln (4 x + 1) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (4 x + 1)$ y $d v = 1$ .

$\ln (4 x + 1) x - \int x \frac{4}{4 x + 1} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{4}{4 x + 1}$ .

$\ln (4 x + 1) x - \int \frac{x \cdot 4}{4 x + 1} d x$

Paso 2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - \int \frac{4 x}{4 x + 1} d x$

Paso 3

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$\ln (4 x + 1) x - (4 \int \frac{x}{4 x + 1} d x)$

Paso 4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 \int \frac{x}{4 x + 1} d x$

Paso 5

Divide $x$ por $4 x + 1$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$4 x$

$1$

$x$

$0$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $4 x$ .

					$\frac{1}{4}$
	$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$\frac{1}{4}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + \frac{1}{4}$ .

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{4}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{1}{4}$
$4 x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$\frac{1}{4}$
					-	$\frac{1}{4}$

Paso 5.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\ln (4 x + 1) x - 4 \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\int \frac{1}{4} d x + \int - \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x)$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x + C + \int - \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x)$

Paso 8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x + C - \int \frac{1}{4 (4 x + 1)} d x)$

Paso 9

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x + C - (\frac{1}{4} \int \frac{1}{4 x + 1} d x))$

Paso 10

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 x + 1} d x)$

Paso 11

Sea $u = 4 x + 1$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = 4 x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 11.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 11.1.4.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 11.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u \cdot 4} d u)$

Paso 12.2

Mueve $4$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u} d u)$

Paso 13

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u))$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 14.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{16} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 15

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} + C - \frac{1}{16} (\ln (| u |) + C))$

Paso 16

Simplifica.

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{16} \ln (| u |)) + C$

Paso 17

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 1$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{1}{4} x - \frac{1}{16} \ln (| 4 x + 1 |)) + C$

Paso 18

Simplifica.

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Paso 18.1

Simplifica cada término.

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Paso 18.1.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} - \frac{1}{16} \ln (| 4 x + 1 |)) + C$

Paso 18.1.2

Combina $\ln (| 4 x + 1 |)$ y $\frac{1}{16}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Paso 18.2

Para escribir $\frac{x}{4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Paso 18.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $16$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 18.3.1

Multiplica $\frac{x}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Paso 18.3.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\ln (4 x + 1) x - 4 (\frac{x \cdot 4}{16} - \frac{\ln (| 4 x + 1 |)}{16}) + C$

Paso 18.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (4 x + 1) x - 4 \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{16} + C$

Paso 18.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 18.5.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$\ln (4 x + 1) x + 4 (- 1) \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{16} + C$

Paso 18.5.2

Factoriza $4$ de $16$ .

$\ln (4 x + 1) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{4 \cdot 4} + C$

Paso 18.5.3

Cancela el factor común.

$\ln (4 x + 1) x + 4 \cdot - 1 \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{4 \cdot 4} + C$

Paso 18.5.4

Reescribe la expresión.

$\ln (4 x + 1) x - \frac{x \cdot 4 - \ln (| 4 x + 1 |)}{4} + C$

Paso 18.6

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (4 x + 1) x - \frac{4 x - \ln (| 4 x + 1 |)}{4} + C$

Paso 19

Reordena los términos.

$\ln (4 x + 1) x - \frac{1}{4} (4 x - \ln (| 4 x + 1 |)) + C$