Cálculo Ejemplos

$\int \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \sec (3 x)$ . Entonces $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \sec (3 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = 3 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sec (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.3.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Paso 1.1.3.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{3} d u_{2}$

Paso 2

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} u_{2} + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{3} \sec (3 x) + C$