Cálculo Ejemplos

$\int x e^{5 x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{5 x}$ .

$x (\frac{1}{5} e^{5 x}) - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $e^{5 x}$ .

$x \frac{e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{e^{5 x}}{5}$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \int \frac{1}{5} e^{5 x} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{x e^{5 x}}{5} - (\frac{1}{5} \int e^{5 x} d x)$

Paso 4

Sea $u = 5 x$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 4.1.2

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$5$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Paso 5

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5} (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{5 \cdot 5} \int e^{u} d u$

Paso 7.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} \int e^{u} d u$

Paso 8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$

Paso 9

Reescribe $\frac{x e^{5 x}}{5} - \frac{1}{25} (e^{u} + C)$ como $\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$ .

$\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{u} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x$ .

$\frac{1}{5} x e^{5 x} - \frac{1}{25} e^{5 x} + C$