Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{7} \sqrt{y + 9} d y$

Paso 1

Sea $u = y + 9$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Deja $u = y + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Diferencia $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 9$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Paso 1.1.4

Como $9$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $9$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $y$ en $u = y + 9$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Paso 1.3

Suma $0$ y $9$ .

$u_{lower} = 9$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $y$ en $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 7 + 9$

Paso 1.5

Suma $7$ y $9$ .

$u_{upper} = 16$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ en $16$ y en $9$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.6

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.7

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 4.2.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.9

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 4.2.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

Paso 4.2.10

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27$

Paso 4.2.11

Multiplica $27$ por $- 1$ .

$\frac{128}{3} - 27 (\frac{2}{3})$

Paso 4.2.12

Combina $- 27$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3}$

Paso 4.2.13

Multiplica $- 27$ por $2$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 54}{3}$

Paso 4.2.14

Cancela el factor común de $- 54$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.14.1

Factoriza $3$ de $- 54$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3}$

Paso 4.2.14.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.14.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)}$

Paso 4.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1}$

Paso 4.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{128}{3} + \frac{- 18}{1}$

Paso 4.2.14.2.4

Divide $- 18$ por $1$ .

$\frac{128}{3} - 18$

Paso 4.2.15

Para escribir $- 18$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.2.16

Combina $- 18$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3}$

Paso 4.2.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

Paso 4.2.18

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.18.1

Multiplica $- 18$ por $3$ .

$\frac{128 - 54}{3}$

Paso 4.2.18.2

Resta $54$ de $128$ .

$\frac{74}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{74}{3}$

Forma decimal:

$24.\overline{6}$

Forma de número mixto:

$24 \frac{2}{3}$

Paso 6