Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{8} \frac{1}{x^{3}} d x$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Mueve $x^{3}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{8} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{8} x^{3 \cdot - 1} d x$

Paso 1.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{8} x^{- 3} d x$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{8}$

Paso 3

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1

Evalúa $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ en $8$ y en $1$ .

$(- \frac{1}{2} \cdot 8^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Paso 3.2.2

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{64} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Paso 3.2.3

Multiplica $\frac{1}{64}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{64 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Paso 3.2.4

Multiplica $64$ por $2$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

Paso 3.2.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 3.2.6

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2}$

Paso 3.2.7

Para escribir $\frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{64}{64}$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{64}$

Paso 3.2.8

Escribe cada expresión con un denominador común de $128$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.2.8.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{64}{64}$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{64}{2 \cdot 64}$

Paso 3.2.8.2

Multiplica $2$ por $64$ .

$- \frac{1}{128} + \frac{64}{128}$

Paso 3.2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 1 + 64}{128}$

Paso 3.2.10

Suma $- 1$ y $64$ .

$\frac{63}{128}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{63}{128}$

Forma decimal:

$0.4921875$

Paso 5