Cálculo Ejemplos

$\int x \sqrt[3]{6 x + 7} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sqrt[3]{6 x + 7}$ .

$x (\frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{8}$ y ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$x \frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{{(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \int \frac{1}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{8}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{8}$ fuera de la integral.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - (\frac{1}{8} \int {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} d x)$

Paso 4

Sea $u = 6 x + 7$ . Entonces $d u = 6 d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 6 x + 7$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $6 x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 7]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $6 x + 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 4.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 4.1.3.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 4.1.3.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [7]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1.4.1

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 + 0$

Paso 4.1.4.2

Suma $6$ y $0$ .

$6$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int u^{\frac{4}{3}} \frac{1}{6} d u$

Paso 5

Combina $u^{\frac{4}{3}}$ y $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} \int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{6} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{8} (\frac{1}{6} \int u^{\frac{4}{3}} d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{6 \cdot 8} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 7.2

Multiplica $6$ por $8$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \int u^{\frac{4}{3}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{4}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C)$ como $\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$ .

$\frac{1}{8} x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $\frac{1}{8}$ y $x$ .

$\frac{x}{8} {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 9.2.2

Combina $\frac{x}{8}$ y ${(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{48} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $\frac{3}{7}$ por $\frac{1}{48}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{7 \cdot 48} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 9.2.4

Multiplica $7$ por $48$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 9.2.5

Cancela el factor común de $3$ y $336$ .

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Paso 9.2.5.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 (1)}{336} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 9.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.5.2.1

Factoriza $3$ de $336$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 9.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 9.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} + C$

Paso 9.2.6

Para escribir $- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot \frac{8}{8} + C$

Paso 9.2.7

Combina $- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}}$ y $\frac{8}{8}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}}{8} + \frac{- \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

Paso 9.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{1}{112} u^{\frac{7}{3}} \cdot 8}{8} + C$

Paso 9.2.9

Combina $u^{\frac{7}{3}}$ y $\frac{1}{112}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112} \cdot 8}{8} + C$

Paso 9.2.10

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

Paso 9.2.11

Combina $- 8$ y $\frac{u^{\frac{7}{3}}}{112}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 u^{\frac{7}{3}}}{112}}{8} + C$

Paso 9.2.12

Factoriza $8$ de $- 8 u^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{112}}{8} + C$

Paso 9.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.13.1

Factoriza $8$ de $112$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 (14)}}{8} + C$

Paso 9.2.13.2

Cancela el factor común.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{8 (- u^{\frac{7}{3}})}{8 \cdot 14}}{8} + C$

Paso 9.2.13.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} + \frac{- u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Paso 9.2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Paso 9.2.15

Para escribir $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{14}{14}$ .

$\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Paso 9.2.16

Combina $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ y $\frac{14}{14}$ .

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14}{14} - \frac{u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Paso 9.2.17

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} \cdot 14 - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Paso 9.2.18

Mueve $14$ a la izquierda de $x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{\frac{14 \cdot (x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}}) - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8} + C$

Paso 9.2.19

Reescribe $\frac{\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}}{8}$ como un producto.

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14} \cdot \frac{1}{8} + C$

Paso 9.2.20

Multiplica $\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{14 \cdot 8} + C$

Paso 9.2.21

Multiplica $14$ por $8$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - u^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $6 x + 7$ .

$\frac{14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}}{112} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{1}{112} (14 x {(6 x + 7)}^{\frac{4}{3}} - {(6 x + 7)}^{\frac{7}{3}}) + C$