Cálculo Ejemplos

$\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 3.3

Multiplica ${(x^{2} + 1)}^{2}$ por $1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 5.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 5.2.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 5.2.3

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Paso 6

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.2

Cancela el factor común.

$4 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 6.3

Reescribe la expresión.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10

Simplifica la expresión.

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Paso 10.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 10.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 14

Suma $1$ y $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 15

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 16

Combina $4$ y $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 17

Simplifica.

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Paso 17.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 17.2

Simplifica cada término.

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Paso 17.2.1

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 17.2.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 17.3

Factoriza $4$ de $- 12 x^{2} + 4$ .

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Paso 17.3.1

Factoriza $4$ de $- 12 x^{2}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 17.3.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 17.3.3

Factoriza $4$ de $4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 17.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 17.5

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 17.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{4 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 17.7

Reescribe $- (3 x^{2} - 1)$ como $- 1 (3 x^{2} - 1)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Paso 17.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$