Cálculo Ejemplos

$g (x) = 9 - x^{2}$

Paso 1

Considera la definición límite de la derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 9 - {(x + h)}^{2}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 9 - ((x + h) (x + h))$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 9 - (x (x + h) + h (x + h))$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 9 - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 9 - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 9 - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 9 - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 9 - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 9 - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Paso 2.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 9 - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Paso 2.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f (x + h) = 9 - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $9 - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$9 - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $9$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 9$

Paso 2.2.2

Mueve $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + 9$

Paso 2.2.3

Reordena $- 2 h x$ y $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9$

$f (x) = 9 - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9$

$f (x) = 9 - x^{2}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9 - (9 - x^{2})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9 - 1 \cdot 9 + x^{2}}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9 - 9 + x^{2}}{h}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- - x^{2}$ .

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Paso 4.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9 - 9 + 1 x^{2}}{h}$

Paso 4.1.3.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 9 - 9 + x^{2}}{h}$

Paso 4.1.4

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 0 + 9 - 9}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $- h^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 9 - 9}{h}$

Paso 4.1.6

Resta $9$ de $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 0}{h}$

Paso 4.1.7

Suma $- h^{2} - 2 h x$ y $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.8

Factoriza $h$ de $- h^{2} - 2 h x$ .

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Paso 4.1.8.1

Factoriza $h$ de $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x}{h}$

Paso 4.1.8.2

Factoriza $h$ de $- 2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x)}{h}$

Paso 4.1.8.3

Factoriza $h$ de $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x)}{h}$

Paso 4.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $- h - 2 x$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x$

Paso 4.2.2

Reordena $- h$ y $- 2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h$

Paso 5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $h$ se aproxima a $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h$

Paso 6

Evalúa el límite de $2 x$ que es constante cuando $h$ se acerca a $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h$

Paso 7

Simplifica la expresión.

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Paso 7.1

Evalúa el límite de $h$ mediante el ingreso de $0$ para $h$ .

$- 2 x + 0$

Paso 7.2

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$- 2 x$

Paso 8