Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 x^{3} - 6 (2 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 x^{2} - 12 \cdot 1$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 12$ .

$12 x^{2} - 12$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 12 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 12 = 0$

Paso 2.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} = 12$

Paso 2.3

Divide cada término en $12 x^{2} = 12$ por $12$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $12 x^{2} = 12$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{12}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $12$ por $12$ .

$x^{2} = 1$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $1$ en $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $1$ en la expresión.

$f (1) = {(1)}^{4} - 6 {(1)}^{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 6 {(1)}^{2}$

Paso 3.1.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (1) = 1 - 6 \cdot 1$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 6$

Paso 3.1.2.2

Resta $6$ de $1$ .

$f (1) = - 5$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $1$ en $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ es $(1, - 5)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(1, - 5)$

Paso 3.3

Sustituye $- 1$ en $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 6 {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- 1) = 1 - 6 {(- 1)}^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- 1) = 1 - 6 \cdot 1$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 - 6$

Paso 3.3.2.2

Resta $6$ de $1$ .

$f (- 1) = - 5$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $- 5$ .

$- 5$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 1$ en $f (x) = x^{4} - 6 x^{2}$ es $(- 1, - 5)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 1, - 5)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(1, - 5), (- 1, - 5)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.1$ en la expresión.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} - 12$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 12$

Paso 5.2.2

Resta $12$ de $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 2.52$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $2.52$ .

$2.52$

Paso 5.3

En $- 1.1$ , la segunda derivada es $2.52$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Incremento en $(- \infty, - 1)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 1)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 12$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 12$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 12$

Paso 6.2.2

Resta $12$ de $0$ .

$f'' (0) = - 12$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 12$ .

$- 12$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $- 12$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 1, 1)$ .

Decrecimiento en $(- 1, 1)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.1$ en la expresión.

$f'' (1.1) = 12 {(1.1)}^{2} - 12$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $1.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 1.21 - 12$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $1.21$ .

$f'' (1.1) = 14.52 - 12$

Paso 7.2.2

Resta $12$ de $14.52$ .

$f'' (1.1) = 2.52$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $2.52$ .

$2.52$

Paso 7.3

En $1.1$ , la segunda derivada es $2.52$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- 1, - 5), (1, - 5)$ .

$(- 1, - 5), (1, - 5)$

Paso 9