Cálculo Ejemplos

x^{2} + y^{2} = - 18 x

$x^{2} + y^{2} = - 18 x$

Paso 1

Solve the equation as

y

$y$ in terms of

x

$x$ .

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Paso 1.1

Resta

x^{2}

$x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

y^{2} = - 18 x - x^{2}

$y^{2} = - 18 x - x^{2}$

Paso 1.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

y = \pm \sqrt{- 18 x - x^{2}}

$y = \pm \sqrt{- 18 x - x^{2}}$

Paso 1.3

Factoriza

x

$x$ de

- 18 x - x^{2}

$- 18 x - x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza

x

$x$ de

- 18 x

$- 18 x$ .

y = \pm \sqrt{x \cdot - 18 - x^{2}}

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 18 - x^{2}}$

Paso 1.3.2

Factoriza

x

$x$ de

- x^{2}

$- x^{2}$ .

y = \pm \sqrt{x \cdot - 18 + x (- x)}

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 18 + x (- x)}$

Paso 1.3.3

Factoriza

x

$x$ de

x \cdot - 18 + x (- x)

$x \cdot - 18 + x (- x)$ .

y = \pm \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = \pm \sqrt{x (- 18 - x)}$

y = \pm \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = \pm \sqrt{x (- 18 - x)}$

Paso 1.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.4.1

Primero, usa el valor positivo de

\pm

$\pm$ para obtener la primera solución.

y = \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

Paso 1.4.2

Luego, usa el valor negativo de

\pm

$\pm$ para obtener la segunda solución.

y = - \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

Paso 1.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

y = \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

y = - \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

y = \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

y = - \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

y = \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = \sqrt{x (- 18 - x)}$

y = - \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

Paso 2

Set each solution of

y

$y$ as a function of

x

$x$ .

y = \sqrt{x (- 18 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = \sqrt{x (- 18 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (- 18 - x)}$

y = - \sqrt{x (- 18 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (- 18 - x)}

$y = - \sqrt{x (- 18 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (- 18 - x)}$

Paso 3

Because the

y

$y$ variable in the equation

x^{2} + y^{2} = - 18 x

$x^{2} + y^{2} = - 18 x$ has a degree greater than

1

$1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 18 x)

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 18 x)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Diferencia.

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Paso 3.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de

x^{2} + y^{2}

$x^{2} + y^{2}$ con respecto a

x

$x$ es

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 2

$n = 2$ .

2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2

Evalúa

\frac{d}{d x} [y^{2}]

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ donde

f (x) = x^{2}

$f (x) = x^{2}$ y

g (x) = y

$g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece

u

$u$ como

y

$y$ .

2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d u} [u^{n}]

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es

n u^{n - 1}

$n u^{n - 1}$ donde

n = 2

$n = 2$ .

2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de

u

$u$ con

y

$y$ .

2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.2

Reescribe

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ como

y'

$y'$ .

2 x + 2 y y'

$2 x + 2 y y'$

2 x + 2 y y'

$2 x + 2 y y'$

Paso 3.2.3

Reordena los términos.

2 y y' + 2 x

$2 y y' + 2 x$

2 y y' + 2 x

$2 y y' + 2 x$

Paso 3.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como

- 18

$- 18$ es constante con respecto a

x

$x$ , la derivada de

- 18 x

$- 18 x$ con respecto a

x

$x$ es

- 18 \frac{d}{d x} [x]

$- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

- 18 \frac{d}{d x} [x]

$- 18 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ donde

n = 1

$n = 1$ .

- 18 \cdot 1

$- 18 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica

- 18

$- 18$ por

1

$1$ .

- 18

$- 18$

- 18

$- 18$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

2 y y' + 2 x = - 18

$2 y y' + 2 x = - 18$

Paso 3.5

Resuelve

y'

$y'$

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Paso 3.5.1

Resta

2 x

$2 x$ de ambos lados de la ecuación.

2 y y' = - 18 - 2 x

$2 y y' = - 18 - 2 x$

Paso 3.5.2

Divide cada término en

2 y y' = - 18 - 2 x

$2 y y' = - 18 - 2 x$ por

2 y

$2 y$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en

2 y y' = - 18 - 2 x

$2 y y' = - 18 - 2 x$ por

2 y

$2 y$ .

\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de

2

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común de

$y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2.2.2

Divide

$y'$ por

$1$ .

$y' = \frac{- 18}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de

$- 18$ y

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.1.1

Factoriza

$2$ de

$- 18$ .

$y' = \frac{2 \cdot - 9}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.1.2.1

Factoriza

$2$ de

$2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot - 9}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 \cdot - 9}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 9}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.3

Cancela el factor común de

$- 2$ y

$2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.3.1

Factoriza

$2$ de

$- 2 x$ .

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.3.1.3.2.1

Factoriza

$2$ de

$2 y$ .

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Paso 3.5.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{9}{y} + \frac{- x}{y}$

Paso 3.5.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{9}{y} - \frac{x}{y}$

Paso 3.6

Reemplaza

$y'$ con

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9}{y} - \frac{x}{y}$

Paso 4

Establece la derivada igual a

$0$ luego resuelve la ecuación

$- \frac{9}{y} - \frac{x}{y} = 0$ .

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Paso 4.1

Suma

$\frac{9}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{x}{y} = \frac{9}{y}$

Paso 4.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$- x = 9$

Paso 4.3

Divide cada término en

$- x = 9$ por

$- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en

$- x = 9$ por

$- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{9}{- 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{9}{- 1}$

Paso 4.3.2.2

Divide

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{9}{- 1}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Divide

$9$ por

$- 1$ .

$x = - 9$

Paso 5

Solve the function

$f (x) = \sqrt{x (- 18 - x)}$ at

$x = - 9$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 9$ en la expresión.

$f (- 9) = \sqrt{(- 9) (- 18 - (- 9))}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 9$ .

$f (- 9) = \sqrt{- 9 (- 18 + 9)}$

Paso 5.2.2

Suma

$- 18$ y

$9$ .

$f (- 9) = \sqrt{- 9 \cdot - 9}$

Paso 5.2.3

Multiplica

$- 9$ por

$- 9$ .

$f (- 9) = \sqrt{81}$

Paso 5.2.4

Reescribe

$81$ como

$9^{2}$ .

$f (- 9) = \sqrt{9^{2}}$

Paso 5.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 9) = 9$

Paso 5.2.6

La respuesta final es

$9$ .

$9$

Paso 6

Solve the function

$f (x) = - \sqrt{x (- 18 - x)}$ at

$x = - 9$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable

$x$ con

$- 9$ en la expresión.

$f (- 9) = - \sqrt{(- 9) (- 18 - (- 9))}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica

$- 1$ por

$- 9$ .

$f (- 9) = - \sqrt{- 9 (- 18 + 9)}$

Paso 6.2.2

Suma

$- 18$ y

$9$ .

$f (- 9) = - \sqrt{- 9 \cdot - 9}$

Paso 6.2.3

Multiplica

$- 9$ por

$- 9$ .

$f (- 9) = - \sqrt{81}$

Paso 6.2.4

Reescribe

$81$ como

$9^{2}$ .

$f (- 9) = - \sqrt{9^{2}}$

Paso 6.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 9) = - 1 \cdot 9$

Paso 6.2.6

Multiplica

$- 1$ por

$9$ .

$f (- 9) = - 9$

Paso 6.2.7

La respuesta final es

$- 9$ .

$- 9$

Paso 7

The horizontal tangent lines are

$y = 9, y = - 9$

Paso 8