Cálculo Ejemplos

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.6.2

Resta $3$ de $2$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.8

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.9

Combina $3$ y $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.10

Multiplica $2$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.11

Mueve $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.12

Factoriza $3$ de $6$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.13

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.13.1

Factoriza $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.13.2

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.2.13.3

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} x$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$

Paso 2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$

Paso 2.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Paso 2.3.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.4

Multiplica cada término en $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ por $x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 2.4.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.1

Cancela el factor común de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 2.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 = 2 x^{\frac{1}{3}}$

Paso 2.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.5.1

Reescribe la ecuación como $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Paso 2.5.2

Divide cada término en $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.1

Divide cada término en $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

Paso 2.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

Paso 2.5.2.2.2

Divide $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{2}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.3.1

Divide $2$ por $2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

Paso 2.5.3

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $3$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Paso 2.5.4

Simplifica el exponente.

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Paso 2.5.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.4.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.5.4.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Paso 2.5.4.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 1^{3}$

Paso 2.5.4.1.1.2

Simplifica.

$x = 1^{3}$

Paso 2.5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.4.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 2$

Paso 3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}} - 2$

Paso 3.2

Establece el denominador en $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{3}$

Paso 3.3.2.2.1.2

Simplifica.

$x = 0^{3}$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 4

Evalúa $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$3 {(1)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 1$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 - 2 \cdot 1$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$3 - 2$

Paso 4.1.2.2

Resta $2$ de $3$ .

$1$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

Paso 4.2.2.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

Paso 4.2.2.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

Paso 4.2.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$

Paso 4.2.2.1.4

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$3 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

Paso 4.2.2.1.5

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 - 2 \cdot 0$

Paso 4.2.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(1, 1), (0, 0)$

Paso 5