Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \frac{2 - x}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 - x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{2 - x}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 1.3.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.5

Resta $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.8

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{2 x + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1}{2 x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{- 1}{x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} - 1}{lim_{x \to 2} x}$

Paso 2.3

Evalúa el límite de $- 1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 2} x}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Paso 4.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$