Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2})$

Paso 1.2.3

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2})$

Paso 2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 (2 x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 x$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{3} - 24 x^{2} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Diferencia.

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Paso 4.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 4.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 x^{3} - 8 (3 x^{2})$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $3$ por $- 8$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x^{2}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{3} - 24 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{3} - 24 x^{2} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{3} - 24 x^{2} = 0$

Paso 5.2

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{3} - 24 x^{2}$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 24 x^{2} = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $4 x^{2}$ de $- 24 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 6) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 6)$ .

$4 x^{2} (x - 6) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 5.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 5.5

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 5.5.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 x^{2} (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 0, 6$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = 0, 6$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = 0$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$12 \cdot 0 - 48 \cdot 0$

Paso 9.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$0 - 48 \cdot 0$

Paso 9.1.3

Multiplica $- 48$ por $0$ .

$0 + 0$

Paso 9.2

Suma $0$ y $0$ .

$0$

Paso 10

Como hay al menos un punto con $0$ o segunda derivada indefinida, aplica la prueba de la primera derivada.

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Paso 10.1

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la primera derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Paso 10.2

Sustituye cualquier número, como $- 2$ , del intervalo $(- \infty, 0)$ en la primera derivada $4 x^{3} - 24 x^{2}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 24 {(- 2)}^{2}$

Paso 10.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 24 {(- 2)}^{2}$

Paso 10.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 24 {(- 2)}^{2}$

Paso 10.2.2.1.3

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = - 32 - 24 \cdot 4$

Paso 10.2.2.1.4

Multiplica $- 24$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 32 - 96$

Paso 10.2.2.2

Resta $96$ de $- 32$ .

$f' (- 2) = - 128$

Paso 10.2.2.3

La respuesta final es $- 128$ .

$- 128$

Paso 10.3

Sustituye cualquier número, como $3$ , del intervalo $(0, 6)$ en la primera derivada $4 x^{3} - 24 x^{2}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 24 {(3)}^{2}$

Paso 10.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.2.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 24 {(3)}^{2}$

Paso 10.3.2.1.2

Multiplica $4$ por $27$ .

$f' (3) = 108 - 24 {(3)}^{2}$

Paso 10.3.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f' (3) = 108 - 24 \cdot 9$

Paso 10.3.2.1.4

Multiplica $- 24$ por $9$ .

$f' (3) = 108 - 216$

Paso 10.3.2.2

Resta $216$ de $108$ .

$f' (3) = - 108$

Paso 10.3.2.3

La respuesta final es $- 108$ .

$- 108$

Paso 10.4

Sustituye cualquier número, como $8$ , del intervalo $(6, \infty)$ en la primera derivada $4 x^{3} - 24 x^{2}$ para comprobar si el resultado es negativo o positivo.

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Paso 10.4.1

Reemplaza la variable $x$ con $8$ en la expresión.

$f' (8) = 4 {(8)}^{3} - 24 {(8)}^{2}$

Paso 10.4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$f' (8) = 4 \cdot 512 - 24 {(8)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $512$ .

$f' (8) = 2048 - 24 {(8)}^{2}$

Paso 10.4.2.1.3

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$f' (8) = 2048 - 24 \cdot 64$

Paso 10.4.2.1.4

Multiplica $- 24$ por $64$ .

$f' (8) = 2048 - 1536$

Paso 10.4.2.2

Resta $1536$ de $2048$ .

$f' (8) = 512$

Paso 10.4.2.3

La respuesta final es $512$ .

$512$

Paso 10.5

Como la primera derivada no cambió los signos alrededor de $x = 0$ , no es un máximo local ni un mínimo local.

No es un máximo local ni un mínimo local

Paso 10.6

Como la primera derivada cambió los signos de negativo a positivo alrededor de $x = 6$ , $x = 6$ es un mínimo local.

$x = 6$ es un mínimo local

Paso 11