Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Paso 1

Combina los términos.

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Paso 1.1

Para escribir $\frac{1}{x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Paso 1.2

Para escribir $- \frac{1}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Paso 1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x \cdot 3$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Paso 1.3.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Paso 1.3.3

Reordena los factores de $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3}{3 x} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{3 - x}{3 x}}{x - 3}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{3 x} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Paso 2.1.2

Multiplica $\frac{3 - x}{3 x}$ por $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 - x}{3 x (x - 3)}$

Paso 2.1.3

Cancela el factor común de $3 - x$ y $x - 3$ .

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Paso 2.1.3.1

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3) - x}{3 x (x - 3)}$

Paso 2.1.3.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3) - (x)}{3 x (x - 3)}$

Paso 2.1.3.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 3) - (x)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (- 3 + x)}{3 x (x - 3)}$

Paso 2.1.3.4

Reordena los términos.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Paso 2.1.3.5

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Paso 2.1.3.6

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1}{3 x}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{3}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 3} \frac{- 1}{x}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 3} - 1}{lim_{x \to 3} x}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $- 1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 3} x}$

Paso 3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $3$ para $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 1}{3}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Paso 4.2.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Paso 4.2.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{1}{9}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{1}$