Cálculo Ejemplos

$y = x$ , $y = \sqrt[6]{x}$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x = \sqrt[6]{x}$

Paso 1.2

Resuelve $x = \sqrt[6]{x}$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Como el radical está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$\sqrt[6]{x} = x$

Paso 1.2.2

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt[6]{x} - x = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $\sqrt[6]{x} - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[6]{x}$ como $x^{\frac{1}{6}}$ .

$x^{\frac{1}{6}} - x = 0$

Paso 1.2.3.2

Factoriza $x^{\frac{1}{6}}$ de $x^{\frac{1}{6}} - x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 - x = 0$

Paso 1.2.3.2.2

Factoriza $x^{\frac{1}{6}}$ de $- x$ .

$x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}}) = 0$

Paso 1.2.3.2.3

Factoriza $x^{\frac{1}{6}}$ de $x^{\frac{1}{6}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{6}} (- x^{\frac{5}{6}})$ .

$x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$

Paso 1.2.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0 + y = \sqrt[6]{x}$

Paso 1.2.5

Establece $x^{\frac{1}{6}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.1

Establece $x^{\frac{1}{6}}$ igual a $0$ .

$x^{\frac{1}{6}} = 0$

Paso 1.2.5.2

Resuelve $x^{\frac{1}{6}} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.1

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $6$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = 0^{6}$

Paso 1.2.5.2.2

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.2.1.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.2.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.2.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

Paso 1.2.5.2.2.1.1.1.2

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.2.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 0^{6}$

Paso 1.2.5.2.2.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 0^{6}$

Paso 1.2.5.2.2.1.1.2

Simplifica.

$x = 0^{6}$

Paso 1.2.5.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.5.2.2.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x = 0$

Paso 1.2.6

Establece $1 - x^{\frac{5}{6}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Establece $1 - x^{\frac{5}{6}}$ igual a $0$ .

$1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$

Paso 1.2.6.2

Resuelve $1 - x^{\frac{5}{6}} = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{\frac{5}{6}} = - 1$

Paso 1.2.6.2.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $\frac{6}{5}$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3

Simplifica el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1.1

Simplifica ${(- x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1.1.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- x^{\frac{5}{6}}$ .

${(- 1)}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.1.2

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{5}$ .

${({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- 1)}^{6} {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1.1.3.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$1 {(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.3.2

Multiplica ${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ por $1$ .

${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.3.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{5}{6}})}^{\frac{6}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1.1.3.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.3.3.3.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.1.1.4

Simplifica.

$x = {(- 1)}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.2.1

Simplifica ${(- 1)}^{\frac{6}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.2.1.1

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.2.1.1.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{5}$ .

$x = {({(- 1)}^{5})}^{\frac{6}{5}}$

Paso 1.2.6.2.3.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

Paso 1.2.6.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$x = {(- 1)}^{5 (\frac{6}{5})}$

Paso 1.2.6.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x = {(- 1)}^{6}$

Paso 1.2.6.2.3.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $6$ .

$x = 1$

Paso 1.2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{\frac{1}{6}} (1 - x^{\frac{5}{6}}) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = \sqrt[6]{0}$

Paso 1.3.2

Simplifica $\sqrt[6]{0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt[6]{0}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe $0$ como $0^{6}$ .

$y = \sqrt[6]{0^{6}}$

Paso 1.3.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 0$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = \sqrt[6]{1}$

Paso 1.4.2

Simplifica $\sqrt[6]{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt[6]{1}$

Paso 1.4.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$y = 1$

Paso 1.5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} d x - \int_{0}^{1} x d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} - (x) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} - x d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} \sqrt[6]{x} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Paso 3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[6]{x}$ como $x^{\frac{1}{6}}$ .

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{6}} d x + \int_{0}^{1} - x d x$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{6}}$ con respecto a $x$ es $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x d x$

Paso 3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x d x$

Paso 3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1})$

Paso 3.8

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}]_{0}^{1} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 3.8.2

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.1

Evalúa $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{6}{7} \cdot 1^{\frac{7}{6}}) - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1})$

Paso 3.8.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$\frac{6}{7} \cdot 1^{\frac{7}{6}} - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{6}{7} \cdot 1 - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.2

Multiplica $\frac{6}{7}$ por $1$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.3

Reescribe $0$ como $0^{6}$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot {(0^{6})}^{\frac{7}{6}} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{6 (\frac{7}{6})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.5

Cancela el factor común de $6$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{6 (\frac{7}{6})} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0^{7} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{6}{7} - \frac{6}{7} \cdot 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.7

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{6}{7} + 0 (\frac{6}{7}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.8

Multiplica $0$ por $\frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} + 0 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.9

Suma $\frac{6}{7}$ y $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.10

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Paso 3.8.2.3.11

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

Paso 3.8.2.3.12

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.12.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Paso 3.8.2.3.12.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.12.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 3.8.2.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Paso 3.8.2.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

Paso 3.8.2.3.12.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} - 0)$

Paso 3.8.2.3.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{6}{7} - (\frac{1}{2} + 0)$

Paso 3.8.2.3.14

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{6}{7} - \frac{1}{2}$

Paso 3.8.2.3.15

Para escribir $\frac{6}{7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 3.8.2.3.16

Para escribir $- \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

Paso 3.8.2.3.17

Escribe cada expresión con un denominador común de $14$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.17.1

Multiplica $\frac{6}{7}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

Paso 3.8.2.3.17.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7}$

Paso 3.8.2.3.17.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7}$

Paso 3.8.2.3.17.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$\frac{6 \cdot 2}{14} - \frac{7}{14}$

Paso 3.8.2.3.18

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{6 \cdot 2 - 7}{14}$

Paso 3.8.2.3.19

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.2.3.19.1

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{12 - 7}{14}$

Paso 3.8.2.3.19.2

Resta $7$ de $12$ .

$\frac{5}{14}$

Paso 4