Cálculo Ejemplos

$(x + 8) (\frac{24}{x} + 12)$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 8$ y $g (x) = \frac{24}{x} + 12$ .

$(x + 8) \frac{d}{d x} [\frac{24}{x} + 12] + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{24}{x} + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$(x + 8) (\frac{d}{d x} [\frac{24}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Paso 2.2

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{24}{x}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Paso 2.3

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$(x + 8) (24 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$(x + 8) (24 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Paso 2.5

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [12]) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Paso 2.6

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2} + 0) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Paso 2.7

Suma $- 24 x^{- 2}$ y $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \frac{d}{d x} [x + 8]$

Paso 2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + \frac{d}{d x} [8])$

Paso 2.10

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) (1 + 0)$

Paso 2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + (\frac{24}{x} + 12) \cdot 1$

Paso 2.11.2

Multiplica $\frac{24}{x} + 12$ por $1$ .

$(x + 8) (- 24 x^{- 2}) + \frac{24}{x} + 12$

Paso 3

Para escribir $(x + 8) (- 24 x^{- 2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x}{x} + \frac{24}{x} + 12$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 2}) x + 24}{x} + 12$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 (x^{1} x^{- 2})) + 24}{x} + 12$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{1 - 2}) + 24}{x} + 12$

Paso 7

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 x^{- 1}) + 24}{x} + 12$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x + 8) (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (- 24 \frac{1}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Paso 8.3

Combina los términos.

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Paso 8.3.1

Combina $- 24$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{- 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{x (- \frac{24}{x}) + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.3

Combina $x$ y $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- \frac{x \cdot 24}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.4

Mueve $24$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- \frac{24 \cdot x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{- \frac{24 x}{x} + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.5.2

Divide $24$ por $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.6

Multiplica $- 1$ por $24$ .

$\frac{- 24 + 8 (- 24 \frac{1}{x}) + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.7

Combina $- 24$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 24 + 8 \frac{- 24}{x} + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- 24 + 8 (- \frac{24}{x}) + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.9

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{- 24 - 8 \frac{24}{x} + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.10

Combina $- 8$ y $\frac{24}{x}$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 8 \cdot 24}{x} + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.11

Multiplica $- 8$ por $24$ .

$\frac{- 24 + \frac{- 192}{x} + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{- 24 - \frac{192}{x} + 24}{x} + 12$

Paso 8.3.13

Suma $- 24$ y $24$ .

$\frac{- \frac{192}{x} + 0}{x} + 12$

Paso 8.3.14

Suma $- \frac{192}{x}$ y $0$ .

$\frac{- \frac{192}{x}}{x} + 12$

Paso 8.3.15

Reescribe $\frac{- \frac{192}{x}}{x}$ como un producto.

$- \frac{192}{x} \cdot \frac{1}{x} + 12$

Paso 8.3.16

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{192}{x}$ .

$- \frac{192}{x \cdot x} + 12$

Paso 8.3.17

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x} + 12$

Paso 8.3.18

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{192}{x^{1} x^{1}} + 12$

Paso 8.3.19

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{192}{x^{1 + 1}} + 12$

Paso 8.3.20

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{192}{x^{2}} + 12$