Cálculo Ejemplos

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{x} + e^{- x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - x$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Paso 4.3.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Paso 4.3.3

Reescribe $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- e^{- x})$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x} - \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{- x}}{2}$