Cálculo Ejemplos

$(3 x + 2 \sqrt{x} + \frac{32}{x^{2}})$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{32}{x^{2}}]$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{32}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 3

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 5

Multiplica $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 6

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 + 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 8

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 9

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 11

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 11.2

Resta $2$ de $1$ .

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 12

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 + 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 12.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 + 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 12.3

Combina $2$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 + \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 12.4

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 12.5

Cancela el factor común.

$3 + \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 12.6

Reescribe la expresión.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Paso 13

Como $32$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{32}{x^{2}}$ con respecto a $x$ es $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Paso 14

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Reescribe $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Paso 14.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Paso 14.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Paso 15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 2$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 32 (- 2 x^{- 3})$

Paso 16

Multiplica $- 2$ por $32$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 x^{- 3}$

Paso 17

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Paso 18

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 18.1.1

Combina $- 64$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 64}{x^{3}}$

Paso 18.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{64}{x^{3}}$

Paso 18.2

Reordena los términos.

$- \frac{64}{x^{3}} + 3 + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$