Cálculo Ejemplos

$\ln (\frac{1}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 2

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{x}$ .

$1 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Paso 3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x (- x^{- 2})$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- (x^{1} x^{- 2})$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{1 - 2}$

Paso 7

Resta $2$ de $1$ .

$- x^{- 1}$

Paso 8

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x}$