Cálculo Ejemplos

$f (x) = {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x^{3} - 8$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3} - 8$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 6

Combina fracciones.

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Paso 6.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 6.2

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 6.3

Mueve ${(x^{3} - 8)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Paso 7

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Paso 9

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2} + 0)$

Paso 10

Simplifica los términos.

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Paso 10.1

Suma $3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} (3 x^{2})$

Paso 10.2

Combina $3$ y $\frac{2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

Paso 10.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}} x^{2}$

Paso 10.4

Combina $\frac{6}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$ y $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.5

Factoriza $3$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1

Factoriza $3$ de $3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 ({(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 {(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{2}}{{(x^{3} - 8)}^{\frac{1}{3}}}$