Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- 24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 24 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $2$ por $- 24$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12 x$ con respecto a $x$ es $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12 \cdot 1$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 48 x + 12$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{3} - 48 x + 12$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{3}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 48 x$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $- 48$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (12)$

Paso 1.2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.2.4.1

Como $12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $12$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

Paso 1.2.4.2

Suma $12 x^{2} - 48$ y $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 48$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $12 x^{2} - 48 = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Paso 2.2

Suma $48$ a ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} = 48$

Paso 2.3

Divide cada término en $12 x^{2} = 48$ por $12$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $12 x^{2} = 48$ por $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Divide $48$ por $12$ .

$x^{2} = 4$

Paso 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.5

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 2.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.5.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2$ en $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{4} - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f (2) = 16 - 24 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Paso 3.1.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (2)$

Paso 3.1.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $4$ .

$f (2) = 16 - 96 + 12 (2)$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $12$ por $2$ .

$f (2) = 16 - 96 + 24$

Paso 3.1.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 3.1.2.2.1

Resta $96$ de $16$ .

$f (2) = - 80 + 24$

Paso 3.1.2.2.2

Suma $- 80$ y $24$ .

$f (2) = - 56$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $- 56$ .

$- 56$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $2$ en $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ es $(2, - 56)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(2, - 56)$

Paso 3.3

Sustituye $- 2$ en $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $4$ .

$f (- 2) = 16 - 24 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2)$

Paso 3.3.2.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f (- 2) = 16 - 24 \cdot 4 + 12 (- 2)$

Paso 3.3.2.1.3

Multiplica $- 24$ por $4$ .

$f (- 2) = 16 - 96 + 12 (- 2)$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $12$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 16 - 96 - 24$

Paso 3.3.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 3.3.2.2.1

Resta $96$ de $16$ .

$f (- 2) = - 80 - 24$

Paso 3.3.2.2.2

Resta $24$ de $- 80$ .

$f (- 2) = - 104$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $- 104$ .

$- 104$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- 2$ en $f (x) = x^{4} - 24 x^{2} + 12 x$ es $(- 2, - 104)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- 2, - 104)$

Paso 3.5

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(2, - 56), (- 2, - 104)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.1$ en la expresión.

$f'' (- 2.1) = 12 {(- 2.1)}^{2} - 48$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $12$ por $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 52.92 - 48$

Paso 5.2.2

Resta $48$ de $52.92$ .

$f'' (- 2.1) = 4.92$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $4.92$ .

$4.92$

Paso 5.3

En $- 2.1$ , la segunda derivada es $4.92$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \infty, - 2)$ .

Incremento en $(- \infty, - 2)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- 2, 2)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 48$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 48$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $12$ por $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48$

Paso 6.2.2

Resta $48$ de $0$ .

$f'' (0) = - 48$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $- 48$ .

$- 48$

Paso 6.3

En $0$ , la segunda derivada es $- 48$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- 2, 2)$ .

Decrecimiento en $(- 2, 2)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(2, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.1$ en la expresión.

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 48$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Eleva $2.1$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 48$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $12$ por $4.41$ .

$f'' (2.1) = 52.92 - 48$

Paso 7.2.2

Resta $48$ de $52.92$ .

$f'' (2.1) = 4.92$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $4.92$ .

$4.92$

Paso 7.3

En $2.1$ , la segunda derivada es $4.92$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(2, \infty)$ .

Incremento en $(2, \infty)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, - 104), (2, - 56)$ .

$(- 2, - 104), (2, - 56)$

Paso 9