Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{\sqrt{x^{9}}}$

Paso 1

Reescribe $\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x^{9}}}]$ como $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} \sqrt{x}}]$ .

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Paso 1.1

Reescribe $x^{9}$ como ${(x^{4})}^{2} x$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $x^{8}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x^{8} x}}]$

Paso 1.1.2

Reescribe $x^{8}$ como ${(x^{4})}^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{{(x^{4})}^{2} x}}]$

Paso 1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} \sqrt{x}}]$

Paso 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} x^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 3

Multiplica $x^{4}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4 + \frac{1}{2}}}]$

Paso 3.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Paso 3.3

Combina $4$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Paso 3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

Paso 3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.5.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{8 + 1}{2}}}]$

Paso 3.5.2

Suma $8$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}}]$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Reescribe $\frac{1}{x^{\frac{9}{2}}}$ como ${(x^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{9}{2}})}^{- 1}]$

Paso 4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2} \cdot - 1}]$

Paso 4.2.2

Multiplica $\frac{9}{2} \cdot - 1$ .

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Paso 4.2.2.1

Combina $\frac{9}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9 \cdot - 1}{2}}]$

Paso 4.2.2.2

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 9}{2}}]$

Paso 4.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{9}{2}}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} - 1}$

Paso 6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{9}{2} x^{\frac{- 9 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 9

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{9}{2} x^{\frac{- 9 - 2}{2}}$

Paso 9.2

Resta $2$ de $- 9$ .

$- \frac{9}{2} x^{\frac{- 11}{2}}$

Paso 10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{9}{2} x^{- \frac{11}{2}}$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{11}{2}}}$

Paso 11.2

Combina los términos.

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Paso 11.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{\frac{11}{2}}}$ por $\frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{x^{\frac{11}{2}} \cdot 2}$

Paso 11.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{\frac{11}{2}}$ .

$- \frac{9}{2 x^{\frac{11}{2}}}$