Cálculo Ejemplos

$y = \ln (9 x^{3} - x^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 9 x^{3} - x^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $9 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $9 x^{3} - x^{2}$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{3} - x^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{3} - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.2

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{3}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.4

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - (2 x))$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - 2 x)$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reordena los factores de $\frac{1}{9 x^{3} - x^{2}} (27 x^{2} - 2 x)$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{9 x^{3} - x^{2}}$

Paso 3.2

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{3} - x^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x^{2}$ de $9 x^{3}$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x) - x^{2}}$

Paso 3.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 1}$

Paso 3.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} (9 x) + x^{2} \cdot - 1$ .

$(27 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (9 x - 1)}$

Paso 3.3

Multiplica $27 x^{2} - 2 x$ por $\frac{1}{x^{2} (9 x - 1)}$ .

$\frac{27 x^{2} - 2 x}{x^{2} (9 x - 1)}$

Paso 3.4

Factoriza $x$ de $27 x^{2} - 2 x$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $x$ de $27 x^{2}$ .

$\frac{x (27 x) - 2 x}{x^{2} (9 x - 1)}$

Paso 3.4.2

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$\frac{x (27 x) + x \cdot - 2}{x^{2} (9 x - 1)}$

Paso 3.4.3

Factoriza $x$ de $x (27 x) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (27 x - 2)}{x^{2} (9 x - 1)}$

Paso 3.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (9 x - 1)$ .

$\frac{x (27 x - 2)}{x (x (9 x - 1))}$

Paso 3.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (27 x - 2)}{x (x (9 x - 1))}$

Paso 3.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{27 x - 2}{x (9 x - 1)}$