Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\ln (x)}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Paso 2

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{2}$ .

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Paso 2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Paso 2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 3

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x^{3}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{x^{2}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.2.2.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{x^{2} - \ln (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Paso 4.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 4.4.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 \ln (x) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 4.4.2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} - 3 \ln (x) x^{2}$ .

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Paso 4.4.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - 3 \ln (x) x^{2}}{x^{6}}$

Paso 4.4.2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 3 \ln (x) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 3 \ln (x))}{x^{6}}$

Paso 4.4.2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- 3 \ln (x))$ .

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{6}}$

Paso 5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (1 - 3 \ln (x))}{x^{2} x^{4}}$

Paso 5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1 - 3 \ln (x)}{x^{4}}$

Paso 6

Simplifica $- 3 \ln (x)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\frac{1 - \ln (x^{3})}{x^{4}}$