Cálculo Ejemplos

$x (x^{2} - \frac{8}{x})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = x^{2} - \frac{8}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{8}{x}] + (x^{2} - \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - \frac{8}{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]) + (x^{2} - \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x}]) + (x^{2} - \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{8}{x}$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x (2 x - 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (x^{2} - \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.4

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (x^{2} - \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$x (2 x - 8 (- x^{- 2})) + (x^{2} - \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.6

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$x (2 x + 8 x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{8}{x}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 x + 8 x^{- 2}) + (x^{2} - \frac{8}{x}) \cdot 1$

Paso 2.8

Multiplica $x^{2} - \frac{8}{x}$ por $1$ .

$x (2 x + 8 x^{- 2}) + x^{2} - \frac{8}{x}$

Paso 3

Para escribir $x (2 x + 8 x^{- 2})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x + 8 x^{- 2}) x}{x} - \frac{8}{x}$

Paso 4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} + \frac{x (2 x + 8 x^{- 2}) x - 8}{x}$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x (2 x + 8 x^{- 2}) - 8}{x}$

Paso 6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{1} (2 x + 8 x^{- 2}) - 8}{x}$

Paso 7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 1} (2 x + 8 x^{- 2}) - 8}{x}$

Paso 8

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + 8 x^{- 2}) - 8}{x}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x + 8 \frac{1}{x^{2}}) - 8}{x}$

Paso 9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} (8 \frac{1}{x^{2}}) - 8}{x}$

Paso 9.3

Combina los términos.

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Paso 9.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 9.3.1.1

Mueve $x$ .

$x^{2} + \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 + x^{2} (8 \frac{1}{x^{2}}) - 8}{x}$

Paso 9.3.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 9.3.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + \frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 + x^{2} (8 \frac{1}{x^{2}}) - 8}{x}$

Paso 9.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} + \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 + x^{2} (8 \frac{1}{x^{2}}) - 8}{x}$

Paso 9.3.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$x^{2} + \frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2} (8 \frac{1}{x^{2}}) - 8}{x}$

Paso 9.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot x^{3} + x^{2} (8 \frac{1}{x^{2}}) - 8}{x}$

Paso 9.3.3

Combina $8$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + x^{2} \frac{8}{x^{2}} - 8}{x}$

Paso 9.3.4

Combina $x^{2}$ y $\frac{8}{x^{2}}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{x^{2} \cdot 8}{x^{2}} - 8}{x}$

Paso 9.3.5

Mueve $8$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{8 \cdot x^{2}}{x^{2}} - 8}{x}$

Paso 9.3.6

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 9.3.6.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{x^{2}} - 8}{x}$

Paso 9.3.6.2

Divide $8$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 8 - 8}{x}$

Paso 9.3.7

Resta $8$ de $8$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3} + 0}{x}$

Paso 9.3.8

Suma $2 x^{3}$ y $0$ .

$x^{2} + \frac{2 x^{3}}{x}$

Paso 9.3.9

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 9.3.9.1

Factoriza $x$ de $2 x^{3}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x}$

Paso 9.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.9.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

Paso 9.3.9.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Paso 9.3.9.2.3

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Paso 9.3.9.2.4

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{2 x^{2}}{1}$

Paso 9.3.9.2.5

Divide $2 x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + 2 x^{2}$

Paso 9.3.10

Suma $x^{2}$ y $2 x^{2}$ .

$3 x^{2}$