Cálculo Ejemplos

$f (x) = x \ln (x) - x$

Paso 1

Según la regla de la suma, la derivada de $x \ln (x) - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.2

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.4

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión.

$1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.6

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Paso 3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \ln (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \ln (x) - 1 \cdot 1$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 + \ln (x) - 1$

Paso 4

Combina los términos.

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Paso 4.1

Resta $1$ de $1$ .

$0 + \ln (x)$

Paso 4.2

Suma $0$ y $\ln (x)$ .

$\ln (x)$