Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 49} \frac{7 - \sqrt{x}}{49 x - x^{2}}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to 49} 7 - \sqrt{x}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $49$ .

$\frac{lim_{x \to 49} 7 - lim_{x \to 49} \sqrt{x}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.2

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $49$ .

$\frac{7 - lim_{x \to 49} \sqrt{x}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Paso 1.1.2.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{7 - \sqrt{lim_{x \to 49} x}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $49$ para $x$ .

$\frac{7 - \sqrt{49}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$\frac{7 - \sqrt{7^{2}}}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{7 - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{7 - 7}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $7$ de $7$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 49} 49 x - x^{2}}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $49$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 49} 49 x - lim_{x \to 49} x^{2}}$

Paso 1.1.3.2

Mueve el término $49$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{0}{49 lim_{x \to 49} x - lim_{x \to 49} x^{2}}$

Paso 1.1.3.3

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{49 lim_{x \to 49} x - {(lim_{x \to 49} x)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4

Evalúa los límites mediante el ingreso de $49$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 1.1.3.4.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $49$ para $x$ .

$\frac{0}{49 \cdot 49 - {(lim_{x \to 49} x)}^{2}}$

Paso 1.1.3.4.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $49$ para $x$ .

$\frac{0}{49 \cdot 49 - 49^{2}}$

Paso 1.1.3.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.5.1.1

Multiplica $49$ por $49$ .

$\frac{0}{2401 - 49^{2}}$

Paso 1.1.3.5.1.2

Eleva $49$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{2401 - 1 \cdot 2401}$

Paso 1.1.3.5.1.3

Multiplica $- 1$ por $2401$ .

$\frac{0}{2401 - 2401}$

Paso 1.1.3.5.2

Resta $2401$ de $2401$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.5.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.6

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 49} \frac{7 - \sqrt{x}}{49 x - x^{2}} = lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [7 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [7 - \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 - \sqrt{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x}]$ .

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Paso 1.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.4

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.5

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.7

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.4.7.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.7.2

Resta $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$lim_{x \to 49} \frac{0 - (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.9

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.4.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 49} \frac{0 - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.5

Resta $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [49 x - x^{2}]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $49 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [49 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [49 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Paso 1.3.7

Evalúa $\frac{d}{d x} [49 x]$ .

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Paso 1.3.7.1

Como $49$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $49 x$ con respecto a $x$ es $49 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Paso 1.3.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Paso 1.3.7.3

Multiplica $49$ por $1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}$

Paso 1.3.8

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Paso 1.3.8.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 1.3.8.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 - (2 x)}$

Paso 1.3.8.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{49 - 2 x}$

Paso 1.3.9

Reordena los términos.

$lim_{x \to 49} \frac{- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{- 2 x + 49}$

Paso 1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 49} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 49}$

Paso 1.5

Reescribe $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 49} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{- 2 x + 49}$

Paso 1.6

Multiplica $\frac{1}{- 2 x + 49}$ por $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 49} - \frac{1}{(- 2 x + 49) (2 \sqrt{x})}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- lim_{x \to 49} \frac{1}{(- 2 x + 49) (2 \sqrt{x})}$

Paso 2.2

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 49} \frac{1}{(- 2 x + 49) (\sqrt{x})}$

Paso 2.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 49} 1}{lim_{x \to 49} (- 2 x + 49) (\sqrt{x})}$

Paso 2.4

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 49} (- 2 x + 49) (\sqrt{x})}$

Paso 2.5

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 49} - 2 x + 49 \cdot lim_{x \to 49} \sqrt{x}}$

Paso 2.6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- lim_{x \to 49} 2 x + lim_{x \to 49} 49) \cdot lim_{x \to 49} \sqrt{x}}$

Paso 2.7

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 49} x + lim_{x \to 49} 49) \cdot lim_{x \to 49} \sqrt{x}}$

Paso 2.8

Evalúa el límite de $49$ que es constante cuando $x$ se acerca a $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 49} x + 49) \cdot lim_{x \to 49} \sqrt{x}}$

Paso 2.9

Mueve el límite debajo del signo radical.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 lim_{x \to 49} x + 49) \cdot \sqrt{lim_{x \to 49} x}}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $49$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $49$ para $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 \cdot 49 + 49) \cdot \sqrt{lim_{x \to 49} x}}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $49$ para $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 2 \cdot 49 + 49) \cdot \sqrt{49}}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 2$ por $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(- 98 + 49) \sqrt{49}}$

Paso 4.1.2

Suma $- 98$ y $49$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 49 \sqrt{49}}$

Paso 4.1.3

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 49 \sqrt{7^{2}}}$

Paso 4.1.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 49 \cdot 7}$

Paso 4.2

Multiplica $- 49$ por $7$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 343}$

Paso 4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{343})$

Paso 4.4

Multiplica $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{343})$ .

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Paso 4.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{343}$

Paso 4.4.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{343}$

Paso 4.4.3

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{343}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 343}$

Paso 4.4.4

Multiplica $2$ por $343$ .

$\frac{1}{686}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{686}$

Forma decimal:

$0.00145772 \dots$