Cálculo Ejemplos

${(\sqrt{x})}^{x}$

Paso 1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{x}]$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{x}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} x}]$

Paso 1.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{x}{2}}]$

Paso 2

Usa las propiedades de los logaritmos para simplificar la diferenciación.

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Paso 2.1

Reescribe $x^{\frac{x}{2}}$ como $e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{x}{2}})}]$

Paso 2.2

Expande $\ln (x^{\frac{x}{2}})$ ; para ello, mueve $\frac{x}{2}$ fuera del logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2} \ln (x)}]$

Paso 3

Combina $\frac{x}{2}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x \ln (x)}{2}}]$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = \frac{x \ln (x)}{2}$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Paso 4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Paso 5

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 5.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x \ln (x)}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{\frac{x \ln (x)}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Paso 5.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{\frac{x \ln (x)}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Paso 6

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 7

La derivada de $\ln (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 8.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 8.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Paso 8.4

Multiplica $\ln (x)$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} (1 + \ln (x))$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

Paso 9.2

Combina los términos.

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Paso 9.2.1

Multiplica $\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} \ln (x)$

Paso 9.2.2

Combina $\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2}$ y $\ln (x)$ .

$\frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}}}{2} + \frac{e^{\frac{x \ln (x)}{2}} \ln (x)}{2}$