Cálculo Ejemplos

$x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3} = 8$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}) = \frac{d}{d x} (8)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + 3 x^{2} y + y^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 2.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 y^{2} y'$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + 3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) + 3 y^{2} y'$

Paso 2.4.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 y x + 3 y^{2} y'$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y'$

Paso 3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 x^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Resta $3 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} y' + 6 x y + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Paso 5.1.2

Resta $6 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} y' + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Paso 5.2

Factoriza $3 y'$ de $3 x^{2} y' + 3 y^{2} y'$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Factoriza $3 y'$ de $3 x^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x y$

Paso 5.2.2

Factoriza $3 y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$3 y' x^{2} + 3 y' y^{2} = - 3 x^{2} - 6 x y$

Paso 5.2.3

Factoriza $3 y'$ de $3 y' x^{2} + 3 y' y^{2}$ .

$3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$

Paso 5.3

Divide cada término en $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ por $3 (x^{2} + y^{2})$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Divide cada término en $3 y' (x^{2} + y^{2}) = - 3 x^{2} - 6 x y$ por $3 (x^{2} + y^{2})$ .

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y' (x^{2} + y^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Paso 5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $x^{2} + y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Paso 5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = \frac{3 (- x^{2})}{3 (x^{2} + y^{2})} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.3.1

Factoriza $3$ de $- 6 x y$ .

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x^{2} + y^{2})}$

Paso 5.3.3.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- x^{2} - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2

Factoriza $x$ de $- x^{2} - 2 x y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.2.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- x) - 2 x y}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2.2

Factoriza $x$ de $- 2 x y$ .

$y' = \frac{x (- x) + x (- 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.3.3.2.2.3

Factoriza $x$ de $x (- x) + x (- 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- x - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{x (- (x) - 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$y' = \frac{x (- (x) - (2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.3.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (2 y)$ .

$y' = \frac{x (- (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.3.3.2.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.2.6.1

Reescribe $- (x + 2 y)$ como $- 1 (x + 2 y)$ .

$y' = \frac{x (- 1 (x + 2 y))}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 5.3.3.2.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (x + 2 y)}{x^{2} + y^{2}}$

Paso 7

Establece $\frac{d y}{d x} = 0$ luego obtén el valor de $x$ en términos de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Establece el numerador igual a cero.

$x (x + 2 y) = 0$

Paso 7.2

Resuelve la ecuación en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 y = 0$

Paso 7.2.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 7.2.3

Establece $x + 2 y$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Establece $x + 2 y$ igual a $0$ .

$x + 2 y = 0$

Paso 7.2.3.2

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2 y$

Paso 7.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x + 2 y) = 0$ verdadera.

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

$x = 0$

$x = - 2 y$

Paso 8

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Simplifica $0^{3} + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 3 \cdot (0^{2} y) + y^{3} = 8$

Paso 8.1.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 + 3 \cdot (0 y) + y^{3} = 8$

Paso 8.1.1.3

Multiplica $0$ por $y$ .

$0 + 3 \cdot 0 + y^{3} = 8$

Paso 8.1.1.4

Multiplica $3$ por $0$ .

$0 + 0 + y^{3} = 8$

Paso 8.1.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + y^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + y^{3} = 8$

Paso 8.1.2.2

Suma $0$ y $y^{3}$ .

$y^{3} = 8$

Paso 8.2

Resta $8$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{3} - 8 = 0$

Paso 8.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$y^{3} - 2^{3} = 0$

Paso 8.3.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = y$ y $b = 2$ .

$(y - 2) (y^{2} + y \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 8.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 2^{2}) = 0$

Paso 8.3.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$

Paso 8.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Paso 8.5

Establece $y - 2$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.5.1

Establece $y - 2$ igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

Paso 8.5.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 2$

Paso 8.6

Establece $y^{2} + 2 y + 4$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.1

Establece $y^{2} + 2 y + 4$ igual a $0$ .

$y^{2} + 2 y + 4 = 0$

Paso 8.6.2

Resuelve $y^{2} + 2 y + 4 = 0$ en $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = 4$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.3.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.6.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 8.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.4.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.4.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.4.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.4.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.4.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.4.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.6.2.4.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 8.6.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - 1 + i \sqrt{3}$

Paso 8.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.5.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.5.1.3

Resta $16$ de $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.5.1.4

Reescribe $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.5.1.7

Reescribe $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.6.2.5.1.7.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.5.1.7.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8.6.2.5.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Paso 8.6.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 8.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 8.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(y - 2) (y^{2} + 2 y + 4) = 0$ verdadera.

$y = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Paso 9

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Simplifica ${(- 2 y)}^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- 2 y$ .

${(- 2)}^{3} y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Paso 9.1.1.2

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 y^{3} + 3 {(- 2 y)}^{2} y + y^{3} = 8$

Paso 9.1.1.3

Aplica la regla del producto a $- 2 y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{2}) y + y^{3} = 8$

Paso 9.1.1.4

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.4.1

Mueve $y$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y \cdot y^{2})) + y^{3} = 8$

Paso 9.1.1.4.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.4.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} (y^{1} y^{2})) + y^{3} = 8$

Paso 9.1.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{1 + 2}) + y^{3} = 8$

Paso 9.1.1.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 ({(- 2)}^{2} y^{3}) + y^{3} = 8$

Paso 9.1.1.5

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$- 8 y^{3} + 3 (4 y^{3}) + y^{3} = 8$

Paso 9.1.1.6

Multiplica $4$ por $3$ .

$- 8 y^{3} + 12 y^{3} + y^{3} = 8$

Paso 9.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.2.1

Suma $- 8 y^{3}$ y $12 y^{3}$ .

$4 y^{3} + y^{3} = 8$

Paso 9.1.2.2

Suma $4 y^{3}$ y $y^{3}$ .

$5 y^{3} = 8$

Paso 9.2

Divide cada término en $5 y^{3} = 8$ por $5$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Divide cada término en $5 y^{3} = 8$ por $5$ .

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{8}{5}$

Paso 9.2.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{8}{5}$

Paso 9.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{\frac{8}{5}}$

Paso 9.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{8}{5}}$ como $\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{5}}$

Paso 9.4.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.2.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2^{3}}}{\sqrt[3]{5}}$

Paso 9.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}}$

Paso 9.4.3

Multiplica $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Paso 9.4.4

Combina y simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt[3]{5}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Paso 9.4.4.2

Eleva $\sqrt[3]{5}$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Paso 9.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Paso 9.4.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Paso 9.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ como $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{5}$ como $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 9.4.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 9.4.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Paso 9.4.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Paso 9.4.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Paso 9.4.4.5.5

Evalúa el exponente.

$y = \frac{2 {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Paso 9.4.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.4.5.1

Reescribe ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ como $\sqrt[3]{5^{2}}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Paso 9.4.5.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5}$

Paso 10

Obtén los puntos donde $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, 2)$

$(0, - 1 + i \sqrt{3})$

$(0, - 1 - i \sqrt{3})$

$(- 2 y, \frac{2 \sqrt[3]{25}}{5})$

Paso 11