Cálculo Ejemplos

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Diferencia.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.3.1

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Paso 2.3.2

Suma $3 x^{2} - 6 x$ y $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Paso 3.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2} - 6 x$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $3 x$ de $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 3.4.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 x (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ en $x = 0$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

Paso 4.2.1.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Paso 4.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $1$ .

$f (0) = 1$

Paso 4.2.3

La respuesta final es $1$ .

$1$

Paso 5

Resuelve la función original $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ en $x = 2$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (2) = 8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

Paso 5.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 1$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$f (2) = 8 - 12 + 1$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 5.2.2.1

Resta $12$ de $8$ .

$f (2) = - 4 + 1$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$f (2) = - 3$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 3$ .

$- 3$

Paso 6

Las tangentes horizontales en la función $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ son $y = 1, y = - 3$ .

$y = 1, y = - 3$

Paso 7