Cálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} = - 12 x$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} = - 12 x - x^{2}$

Paso 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 12 x - x^{2}}$

Paso 1.3

Factoriza $x$ de $- 12 x - x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $- 12 x$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 12 - x^{2}}$

Paso 1.3.2

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x \cdot - 12 + x (- x)}$

Paso 1.3.3

Factoriza $x$ de $x \cdot - 12 + x (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{x (- 12 - x)}$

Paso 1.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x (- 12 - x)}$

Paso 1.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x (- 12 - x)}$

Paso 1.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x (- 12 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 12 - x)}$

$y = \sqrt{x (- 12 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 12 - x)}$

$y = \sqrt{x (- 12 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 12 - x)}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{x (- 12 - x)} \to f (x) = \sqrt{x (- 12 - x)}$

$y = - \sqrt{x (- 12 - x)} \to f (x) = - \sqrt{x (- 12 - x)}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = - 12 x$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Diferencia.

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Paso 3.2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Paso 3.2.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Paso 3.2.3

Reordena los términos.

$2 y y' + 2 x$

Paso 3.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 x$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 12 \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$- 12$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$2 y y' + 2 x = - 12$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y y' = - 12 - 2 x$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $2 y y' = - 12 - 2 x$ por $2 y$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $2 y y' = - 12 - 2 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 12}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 12}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 12}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.5.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 12}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 12}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $- 12$ y $2$ .

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Paso 3.5.2.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 12$ .

$y' = \frac{2 \cdot - 6}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{2 \cdot - 6}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 \cdot - 6}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 6}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{6}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 3.5.2.3.1.3.1

Factoriza $2$ de $- 2 x$ .

$y' = - \frac{6}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.3.1.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$y' = - \frac{6}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Paso 3.5.2.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{6}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Paso 3.5.2.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{6}{y} + \frac{- x}{y}$

Paso 3.5.2.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{6}{y} - \frac{x}{y}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{y} - \frac{x}{y}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{6}{y} - \frac{x}{y} = 0$ .

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Paso 4.1

Suma $\frac{6}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{x}{y} = \frac{6}{y}$

Paso 4.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$- x = 6$

Paso 4.3

Divide cada término en $- x = 6$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.3.1

Divide cada término en $- x = 6$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{6}{- 1}$

Paso 4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{6}{- 1}$

Paso 4.3.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{- 1}$

Paso 4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.3.1

Divide $6$ por $- 1$ .

$x = - 6$

Paso 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{x (- 12 - x)}$ at $x = - 6$ .

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = \sqrt{(- 6) (- 12 - (- 6))}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f (- 6) = \sqrt{- 6 (- 12 + 6)}$

Paso 5.2.2

Suma $- 12$ y $6$ .

$f (- 6) = \sqrt{- 6 \cdot - 6}$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$f (- 6) = \sqrt{36}$

Paso 5.2.4

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$f (- 6) = \sqrt{6^{2}}$

Paso 5.2.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 6) = 6$

Paso 5.2.6

La respuesta final es $6$ .

$6$

Paso 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{x (- 12 - x)}$ at $x = - 6$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 6$ en la expresión.

$f (- 6) = - \sqrt{(- 6) (- 12 - (- 6))}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f (- 6) = - \sqrt{- 6 (- 12 + 6)}$

Paso 6.2.2

Suma $- 12$ y $6$ .

$f (- 6) = - \sqrt{- 6 \cdot - 6}$

Paso 6.2.3

Multiplica $- 6$ por $- 6$ .

$f (- 6) = - \sqrt{36}$

Paso 6.2.4

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$f (- 6) = - \sqrt{6^{2}}$

Paso 6.2.5

Multiplica.

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Paso 6.2.5.1

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 6) = - 1 \cdot 6$

Paso 6.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$f (- 6) = - 6$

Paso 6.2.6

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 7

The horizontal tangent lines are $y = 6, y = - 6$

$y = 6, y = - 6$

Paso 8