Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{16} \frac{x - 5}{\sqrt{x}} d x$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{x - 5}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 2

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int_{1}^{16} (x - 5) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int_{1}^{16} (x - 5) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4

Expande $(x - 5) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{16} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{1}^{16} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{1}^{16} x^{1 - \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int_{1}^{16} x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int_{1}^{16} x^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 4.6

Resta $1$ de $2$ .

$\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{16} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} + \int_{1}^{16} - 5 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Dado que $- 5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 5$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} - 5 \int_{1}^{16} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

Paso 9

Sustituye y simplifica.

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Paso 9.1

Evalúa $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ en $16$ y en $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

Paso 9.2

Evalúa $2 x^{\frac{1}{2}}$ en $16$ y en $1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3

Simplifica.

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Paso 9.3.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.4

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.6

Multiplica $2$ por $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{128 - 2}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.10

Resta $2$ de $128$ .

$\frac{126}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.11

Cancela el factor común de $126$ y $3$ .

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Paso 9.3.11.1

Factoriza $3$ de $126$ .

$\frac{3 \cdot 42}{3} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.3.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 42}{3 (1)} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{42}{1} - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.11.2.4

Divide $42$ por $1$ .

$42 - 5 (2 \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.12

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$42 - 5 (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.13

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 - 5 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.14

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.14.1

Cancela el factor común.

$42 - 5 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.14.2

Reescribe la expresión.

$42 - 5 (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.15

Evalúa el exponente.

$42 - 5 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.16

Multiplica $2$ por $4$ .

$42 - 5 (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Paso 9.3.17

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$42 - 5 (8 - 2 \cdot 1)$

Paso 9.3.18

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$42 - 5 (8 - 2)$

Paso 9.3.19

Resta $2$ de $8$ .

$42 - 5 \cdot 6$

Paso 9.3.20

Multiplica $- 5$ por $6$ .

$42 - 30$

Paso 9.3.21

Resta $30$ de $42$ .

$12$

Paso 10