Cálculo Ejemplos

$\int_{7}^{8} x \sqrt{x - 7} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \sqrt{x - 7}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x - 7)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \int_{7}^{8} \frac{2}{3} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - (\frac{2}{3} \int_{7}^{8} {(x - 7)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Paso 4

Sea $u = x - 7$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = x - 7$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [x - 7]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 4.1.4

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = x - 7$ .

$u_{lower} = 7 - 7$

Paso 4.3

Resta $7$ de $7$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = x - 7$ .

$u_{upper} = 8 - 7$

Paso 4.5

Resta $7$ de $8$ .

$u_{upper} = 1$

Paso 4.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Paso 4.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 5

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{7}^{8} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Paso 6

Sustituye y simplifica.

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Paso 6.1

Evalúa $\frac{x (2 {(x - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ en $8$ y en $7$ .

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

Paso 6.2

Evalúa $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{8 (2 {(8 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Resta $7$ de $8$ .

$\frac{8 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{8 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{8 \cdot 2}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.4

Multiplica $8$ por $2$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 {(7 - 7)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.5

Resta $7$ de $7$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.6

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.8.2

Reescribe la expresión.

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.9

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.10

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{7 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.11

Multiplica $7$ por $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.12

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 6.3.12.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.12.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.12.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.12.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.12.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{16}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.12.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{16}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.13

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{16}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.14

Suma $\frac{16}{3}$ y $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.15

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.16

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.17

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Paso 6.3.18

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Paso 6.3.19

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.19.1

Cancela el factor común.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Paso 6.3.19.2

Reescribe la expresión.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Paso 6.3.20

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Paso 6.3.21

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Paso 6.3.22

Multiplica $0$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

Paso 6.3.23

Suma $\frac{2}{5}$ y $0$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

Paso 6.3.24

Multiplica $\frac{2}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Paso 6.3.25

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{16}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

Paso 6.3.26

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{16}{3} - \frac{4}{15}$

Paso 6.3.27

Para escribir $\frac{16}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

Paso 6.3.28

Escribe cada expresión con un denominador común de $15$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.3.28.1

Multiplica $\frac{16}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{16 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

Paso 6.3.28.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{16 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

Paso 6.3.29

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{16 \cdot 5 - 4}{15}$

Paso 6.3.30

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.30.1

Multiplica $16$ por $5$ .

$\frac{80 - 4}{15}$

Paso 6.3.30.2

Resta $4$ de $80$ .

$\frac{76}{15}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{76}{15}$

Forma decimal:

$5.0\overline{6}$

Forma de número mixto:

$5 \frac{1}{15}$

Paso 8