Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{5} \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x - 1$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x - 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x - 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{lower} = 2 - 1$

Paso 1.3.2

Resta $1$ de $2$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x - 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 5 - 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$u_{upper} = 10 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $10$ .

$u_{upper} = 9$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{9} \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

Paso 2.2

Combinar.

$\int_{1}^{9} \frac{2 (\frac{u}{2} + \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{9} \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.4.2

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1

Cancela el factor común.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.5.2

Reescribe la expresión.

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{u + 1}{2 \sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 2.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int_{1}^{9} \frac{u + 1}{4 \sqrt{u}} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 4.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 4.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 4.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 4.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5

Expande $(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.2

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.6

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 5.7

Multiplica $u^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + \int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9})$

Paso 9

Combina $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$ y $2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$ .

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{9}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}$ en $9$ y en $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 27 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 27}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.6

Multiplica $2$ por $27$ .

$\frac{1}{4} (\frac{54}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.7

Cancela el factor común de $54$ y $3$ .

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Paso 10.2.7.1

Factoriza $3$ de $54$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (\frac{18}{1} + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.7.2.4

Divide $18$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 9^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.8

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.10.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.10.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3^{1} - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.11

Evalúa el exponente.

$\frac{1}{4} (18 + 2 \cdot 3 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.12

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{4} (18 + 6 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.13

Suma $18$ y $6$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.14

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.15

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}))$

Paso 10.2.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot 1))$

Paso 10.2.17

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2))$

Paso 10.2.18

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}))$

Paso 10.2.19

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 - (\frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}))$

Paso 10.2.20

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 2 \cdot 3}{3})$

Paso 10.2.21

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.21.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1}{4} (24 - \frac{2 + 6}{3})$

Paso 10.2.21.2

Suma $2$ y $6$ .

$\frac{1}{4} (24 - \frac{8}{3})$

Paso 10.2.22

Para escribir $24$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (24 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

Paso 10.2.23

Combina $24$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{24 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

Paso 10.2.24

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{24 \cdot 3 - 8}{3}$

Paso 10.2.25

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.25.1

Multiplica $24$ por $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{72 - 8}{3}$

Paso 10.2.25.2

Resta $8$ de $72$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{64}{3}$

Paso 10.2.26

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{64}{3}$ .

$\frac{64}{4 \cdot 3}$

Paso 10.2.27

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{64}{12}$

Paso 10.2.28

Cancela el factor común de $64$ y $12$ .

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Paso 10.2.28.1

Factoriza $4$ de $64$ .

$\frac{4 (16)}{12}$

Paso 10.2.28.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.28.2.1

Factoriza $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Paso 10.2.28.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{4 \cdot 16}{4 \cdot 3}$

Paso 10.2.28.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{16}{3}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{16}{3}$

Forma decimal:

$5.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$5 \frac{1}{3}$

Paso 12