Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{x^{2} + 4}} d x$

Paso 1

Sea $x = 2 \tan (t)$ , donde $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Entonces $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Tenga en cuenta que ya que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ es positiva.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

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Paso 2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $4$ de $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $4$ de $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.3

Aplica la identidad pitagórica.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.4

Reescribe $4 \sec^{2} (t)$ como ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Paso 2.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $2 \sec (t)$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $2 \sec (t)$ de $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

Paso 2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\int \frac{{(2 \tan (t))}^{3}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

Paso 2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\int {(2 \tan (t))}^{3} \sec (t) d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \tan (t)$ .

$\int {(2 (\tan (t)))}^{3} \sec (t) d t$

Paso 2.2.2.2

Aplica la regla del producto a $2 (\tan (t))$ .

$\int 2^{3} \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Paso 2.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\int 8 \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Paso 3

Dado que $8$ es constante con respecto a $t$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int \tan^{3} (t) \sec (t) d t$

Paso 4

Eleva $\sec (t)$ a la potencia de $1$ .

$8 \int \tan^{3} (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 5

Factoriza $\tan^{2} (t)$ .

$8 \int \tan^{2} (t) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 6

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec^{1} (t) d t$

Paso 7

Simplifica.

$8 \int (- 1 + \sec^{2} (t)) \tan (t) \sec (t) d t$

Paso 8

Sea $u = \sec (t)$ . Entonces $d u = \sec (t) \tan (t) d t$ , de modo que $\frac{1}{\sec (t) \tan (t)} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = \sec (t)$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $\sec (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sec (t)]$

Paso 8.1.2

La derivada de $\sec (t)$ con respecto a $t$ es $\sec (t) \tan (t)$ .

$\sec (t) \tan (t)$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$8 \int - 1 + u^{2} d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$8 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

Paso 10

Aplica la regla de la constante.

$8 (- u + C + \int u^{2} d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$8 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

Paso 12.2

Simplifica.

$8 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

Paso 13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 13.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sec (t)$ .

$8 (- \sec (t) + \frac{1}{3} \sec^{3} (t)) + C$

Paso 13.2

Reemplaza todos los casos de $t$ con $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$8 (- \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Simplifica cada término.

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Paso 14.1.1

Dibuja un triángulo en el plano con los vértices $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ y el origen. Entonces $\arctan (\frac{x}{2})$ es el ángulo entre el eje x positivo y el rayo que comienza en el origen y pasa por $(1, \frac{x}{2})$ . Por lo tanto, $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ es $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$8 (- \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 14.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 14.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 (- \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 14.1.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$8 (- \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 14.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (- \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 14.1.6

Reescribe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Paso 14.1.6.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $4 + x^{2}$ .

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 14.1.6.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$8 (- \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 14.1.6.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 14.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$8 (- (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}) + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 14.1.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \sec^{3} (\arctan (\frac{x}{2}))) + C$

Paso 14.1.9

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}^{3}) + C$

Paso 14.1.10

Aplica la regla del producto a $\frac{x}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}^{3}) + C$

Paso 14.1.11

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Paso 14.1.12

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Paso 14.1.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}^{3}) + C$

Paso 14.1.14

Reescribe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Paso 14.1.14.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $4 + x^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}^{3}) + C$

Paso 14.1.14.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}^{3}) + C$

Paso 14.1.14.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}^{3}) + C$

Paso 14.1.15

Retira los términos de abajo del radical.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}})}^{3}) + C$

Paso 14.1.16

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} {(\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2})}^{3}) + C$

Paso 14.1.17

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{2^{3}}) + C$

Paso 14.1.18

Combinar.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{1 {\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

Paso 14.1.19

Multiplica ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ por $1$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 2^{3}}) + C$

Paso 14.1.20

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}}{3 \cdot 8}) + C$

Paso 14.1.21

Simplifica el numerador.

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Paso 14.1.21.1

Reescribe ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{3}$ como $\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{3}}}{3 \cdot 8}) + C$

Paso 14.1.21.2

Factoriza ${(4 + x^{2})}^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{{(4 + x^{2})}^{2} (4 + x^{2})}}{3 \cdot 8}) + C$

Paso 14.1.21.3

Retira los términos de abajo del radical.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{(4 + x^{2}) \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Paso 14.1.21.4

Aplica la propiedad distributiva.

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Paso 14.1.21.5

Factoriza $\sqrt{4 + x^{2}}$ de $4 \sqrt{4 + x^{2}} + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ .

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Paso 14.1.21.5.1

Factoriza $\sqrt{4 + x^{2}}$ de $4 \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}}{3 \cdot 8}) + C$

Paso 14.1.21.5.2

Factoriza $\sqrt{4 + x^{2}}$ de $x^{2} \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}}{3 \cdot 8}) + C$

Paso 14.1.21.5.3

Factoriza $\sqrt{4 + x^{2}}$ de $\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 4 + \sqrt{4 + x^{2}} x^{2}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3 \cdot 8}) + C$

Paso 14.1.22

Multiplica $3$ por $8$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Paso 14.2

Para escribir $- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{12}{12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Paso 14.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $24$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 14.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}$ por $\frac{12}{12}$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{2 \cdot 12} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Paso 14.3.2

Multiplica $2$ por $12$ .

$8 (- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12}{24} + \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24}) + C$

Paso 14.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{24} + C$

Paso 14.5

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 14.5.1

Factoriza $8$ de $24$ .

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 (3)} + C$

Paso 14.5.2

Cancela el factor común.

$8 \frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{8 \cdot 3} + C$

Paso 14.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Paso 14.6

Simplifica el numerador.

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Paso 14.6.1

Factoriza $\sqrt{4 + x^{2}}$ de $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12 + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ .

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Paso 14.6.1.1

Factoriza $\sqrt{4 + x^{2}}$ de $- \sqrt{4 + x^{2}} \cdot 12$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})}{3} + C$

Paso 14.6.1.2

Factoriza $\sqrt{4 + x^{2}}$ de $\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12) + \sqrt{4 + x^{2}} (4 + x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 \cdot 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

Paso 14.6.2

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 12 + 4 + x^{2})}{3} + C$

Paso 14.6.3

Suma $- 12$ y $4$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 8 + x^{2})}{3} + C$

Paso 14.7

Reescribe $- 8$ como $- 1 (8)$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) + x^{2})}{3} + C$

Paso 14.8

Factoriza $- 1$ de $x^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8) - 1 (- x^{2}))}{3} + C$

Paso 14.9

Factoriza $- 1$ de $- 1 (8) - 1 (- x^{2})$ .

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} (- 1 (8 - x^{2}))}{3} + C$

Paso 14.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} (8 - x^{2})}{3} + C$