Cálculo Ejemplos

$\int \ln (5 x - 4) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (5 x - 4)$ y $d v = 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int x \frac{5}{5 x - 4} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{5}{5 x - 4}$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{x \cdot 5}{5 x - 4} d x$

Paso 2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \int \frac{5 x}{5 x - 4} d x$

Paso 3

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$\ln (5 x - 4) x - (5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x)$

Paso 4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{x}{5 x - 4} d x$

Paso 5

Divide $x$ por $5 x - 4$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$5 x$

$4$

$x$

$0$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

					$\frac{1}{5}$
	$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$\frac{4}{5}$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x - \frac{4}{5}$ .

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$\frac{1}{5}$
$5 x$	-	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$\frac{4}{5}$
					+	$\frac{4}{5}$

Paso 5.6

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \int \frac{1}{5} + \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\int \frac{1}{5} d x + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

Paso 7

Aplica la regla de la constante.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \int \frac{4}{5 (5 x - 4)} d x)$

Paso 8

Dado que $\frac{4}{5}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{4}{5}$ fuera de la integral.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 x - 4} d x)$

Paso 9

Sea $u = 5 x - 4$ . Entonces $d u = 5 d x$ , de modo que $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 9.1

Deja $u = 5 x - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 9.1.1

Diferencia $5 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 4]$

Paso 9.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 9.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Paso 9.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 9.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 9.1.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 9.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 9.1.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$5 + 0$

Paso 9.1.4.2

Suma $5$ y $0$ .

$5$

Paso 9.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{u \cdot 5} d u)$

Paso 10.2

Mueve $5$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 \cdot u} d u)$

Paso 10.3

Combina $\frac{1}{5}$ y $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} \int \frac{1}{5 u} d u)$

Paso 11

Dado que $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{5}$ fuera de la integral.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5} (\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u))$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $\frac{4}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{5 \cdot 5} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 12.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 13

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + C + \frac{4}{25} (\ln (| u |) + C))$

Paso 14

Simplifica.

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| u |)) + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x - 4$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{1}{5} x + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

Paso 16

Simplifica.

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Paso 16.1

Simplifica cada término.

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Paso 16.1.1

Combina $\frac{1}{5}$ y $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4}{25} \ln (| 5 x - 4 |)) + C$

Paso 16.1.2

Combina $\frac{4}{25}$ y $\ln (| 5 x - 4 |)$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Paso 16.2

Para escribir $\frac{x}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x}{5} \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Paso 16.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $25$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 16.3.1

Multiplica $\frac{x}{5}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{5 \cdot 5} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Paso 16.3.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$\ln (5 x - 4) x - 5 (\frac{x \cdot 5}{25} + \frac{4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25}) + C$

Paso 16.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (5 x - 4) x - 5 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

Paso 16.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 16.5.1

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 (- 1) \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{25} + C$

Paso 16.5.2

Factoriza $5$ de $25$ .

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

Paso 16.5.3

Cancela el factor común.

$\ln (5 x - 4) x + 5 \cdot - 1 \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5 \cdot 5} + C$

Paso 16.5.4

Reescribe la expresión.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{x \cdot 5 + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

Paso 16.6

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$\ln (5 x - 4) x - \frac{5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)}{5} + C$

Paso 17

Reordena los términos.

$\ln (5 x - 4) x - \frac{1}{5} (5 x + 4 \ln (| 5 x - 4 |)) + C$