Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x^{9} {(1 + x^{10})}^{9} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 + x^{10}$ . Entonces $d u = 10 x^{9} d x$ , de modo que $\frac{1}{10} d u = x^{9} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 + x^{10}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $1 + x^{10}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{10}]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{10}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Paso 1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{10}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 10$ .

$0 + 10 x^{9}$

Paso 1.1.5

Suma $0$ y $10 x^{9}$ .

$10 x^{9}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{10}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Paso 1.3.2

Suma $1$ y $0$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 + x^{10}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{10}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 1 + 1$

Paso 1.5.2

Suma $1$ y $1$ .

$u_{upper} = 2$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{2} u^{9} \frac{1}{10} d u$

Paso 2

Combina $u^{9}$ y $\frac{1}{10}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{u^{9}}{10} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{10} \int_{1}^{2} u^{9} d u$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{9}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} \frac{1}{10} u^{10}]_{1}^{2}$

Paso 5

Sustituye y simplifica.

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Paso 5.1

Evalúa $\frac{1}{10} u^{10}$ en $2$ y en $1$ .

$\frac{1}{10} ((\frac{1}{10} \cdot 2^{10}) - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1}{10} \cdot 1024 - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Paso 5.2.2

Combina $\frac{1}{10}$ y $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{1024}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Paso 5.2.3

Cancela el factor común de $1024$ y $10$ .

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2$ de $1024$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 (512)}{10} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Paso 5.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{10} (\frac{2 \cdot 512}{2 \cdot 5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Paso 5.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1^{10})$

Paso 5.2.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10} \cdot 1)$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} - \frac{1}{10})$

Paso 5.2.6

Para escribir $\frac{512}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{10})$

Paso 5.2.7

Escribe cada expresión con un denominador común de $10$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.7.1

Multiplica $\frac{512}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{1}{10})$

Paso 5.2.7.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{1}{10} (\frac{512 \cdot 2}{10} - \frac{1}{10})$

Paso 5.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{512 \cdot 2 - 1}{10}$

Paso 5.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.9.1

Multiplica $512$ por $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1024 - 1}{10}$

Paso 5.2.9.2

Resta $1$ de $1024$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1023}{10}$

Paso 5.2.10

Multiplica $\frac{1}{10}$ por $\frac{1023}{10}$ .

$\frac{1023}{10 \cdot 10}$

Paso 5.2.11

Multiplica $10$ por $10$ .

$\frac{1023}{100}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1023}{100}$

Forma decimal:

$10.23$

Forma de número mixto:

$10 \frac{23}{100}$

Paso 7