Cálculo Ejemplos

$\int 4 {(4 x + 3)}^{4} d x$

Paso 1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$4 \int {(4 x + 3)}^{4} d x$

Paso 2

Sea $u = 4 x + 3$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 4 x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $4 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 3]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $4$ y $0$ .

$4$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$4 \int u^{4} \frac{1}{4} d u$

Paso 3

Combina $u^{4}$ y $\frac{1}{4}$ .

$4 \int \frac{u^{4}}{4} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{4} \int u^{4} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $4$ .

$\frac{4}{4} \int u^{4} d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{4} \int u^{4} d u$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int u^{4} d u$

Paso 5.3

Multiplica $\int u^{4} d u$ por $1$ .

$\int u^{4} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x + 3$ .

$\frac{1}{5} {(4 x + 3)}^{5} + C$