Cálculo Ejemplos

$\int x^{2} \sqrt{x + 1} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = \sqrt{x + 1}$ .

$x^{2} (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x^{2} \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x^{2}$ y $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{2}{3} \cdot 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3} \cdot 2$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Paso 5

Sea $u = x + 1$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = x + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 5.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u - 1) d u$

Paso 6

Expande $u^{\frac{3}{2}} (u - 1)$ .

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot - 1 d u$

Paso 6.2

Reordena $u^{\frac{3}{2}}$ y $- 1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u - 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 6.3

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 6.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 6.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 6.7

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} - 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 7

Reescribe $- 1 u^{\frac{3}{2}}$ como $- u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int u^{\frac{5}{2}} d u + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{5}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C + \int - u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Paso 11

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{2}{5}$ y $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{2}{7}$ y $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{x^{2} (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Paso 12.2

Simplifica.

$\frac{2}{3} x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 12.3

Simplifica.

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Paso 12.3.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 12.3.2

Combina $\frac{2 x^{2}}{3}$ y ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Paso 12.3.3

Para escribir $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Paso 12.3.4

Combina $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 12.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 12.3.6

Combina $\frac{2}{7}$ y $u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 12.3.7

Combina $u^{\frac{5}{2}}$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) \cdot 3}{3} + C$

Paso 12.3.8

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Paso 12.3.9

Combina $- 3$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Paso 12.3.10

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Paso 12.3.11

Cancela el factor común de $- 12$ y $3$ .

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Paso 12.3.11.1

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Paso 12.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.11.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Paso 12.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Paso 12.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Paso 12.3.11.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5})}{3} + C$

Paso 12.3.12

Mueve $2$ a la izquierda de $u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C$

Paso 14

Reordena los términos.

$\frac{1}{3} (2 x^{2} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x + 1)}^{\frac{7}{2}} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{\frac{5}{2}})) + C$