Cálculo Ejemplos

$\int \frac{\ln (5 x)}{x} d x$

Paso 1

Sea $u_{2} = \ln (5 x)$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , de modo que $x d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{2} = \ln (5 x)$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\ln (5 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = 5 x$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\ln (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]$

Paso 1.1.3

Diferencia.

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Paso 1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 1.1.3.2.1

Combina $5$ y $\frac{1}{5 x}$ .

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.1.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{5}{5 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Paso 1.1.3.4

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Paso 2

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\ln (5 x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (5 x) + C$