Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 5) e^{- x} d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2} + 5$ y $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 5) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

Paso 2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 5) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

Paso 3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$(x^{2} + 5) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

Paso 4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 5) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

Paso 5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 5) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(x^{2} + 5) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 5) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Paso 7.2

Multiplica $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ por $1$ .

$(x^{2} + 5) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Paso 8

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 8.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 8.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 8.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 8.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Paso 8.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Paso 8.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Paso 8.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$(x^{2} + 5) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$(x^{2} + 5) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

Paso 10

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$(x^{2} + 5) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Paso 11

Sustituye y simplifica.

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Paso 11.1

Evalúa $(x^{2} + 5) (- e^{- x})$ en $1$ y en $0$ .

$((1^{2} + 5) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 5) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Paso 11.2

Evalúa $x (- e^{- x})$ en $1$ y en $0$ .

$((1^{2} + 5) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 5) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Paso 11.3

Evalúa $e^{u}$ en $- 1$ y en $0$ .

$((1^{2} + 5) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 5) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4

Simplifica.

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Paso 11.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(1 + 5) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 5) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.2

Suma $1$ y $5$ .

$6 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 5) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$6 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 5) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.4

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$- 6 e^{- 1} - (0^{2} + 5) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- 6 e^{- 1} - (0 + 5) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.6

Suma $0$ y $5$ .

$- 6 e^{- 1} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.7

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$- 6 e^{- 1} - 5 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.8

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 6 e^{- 1} - 5 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.9

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 6 e^{- 1} - 5 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.10

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 6 e^{- 1} - 5 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.11

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$- 6 e^{- 1} + 5 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.12

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 6 e^{- 1} + 5 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.13

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 6 e^{- 1} + 5 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.14

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- 6 e^{- 1} + 5 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.15

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 6 e^{- 1} + 5 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.16

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 6 e^{- 1} + 5 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.17

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$- 6 e^{- 1} + 5 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.18

Suma $- e^{- 1}$ y $0$ .

$- 6 e^{- 1} + 5 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Paso 11.4.19

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 6 e^{- 1} + 5 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

Paso 11.4.20

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 6 e^{- 1} + 5 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{e} + 5 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Paso 12.1.2

Combina $- 6$ y $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 6}{e} + 5 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Paso 12.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Paso 12.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

Paso 12.1.4.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

Paso 12.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

Paso 12.1.4.4

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

Paso 12.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

Paso 12.1.6

Resta $1$ de $- 1$ .

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

Paso 12.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

Paso 12.1.8

Aplica la propiedad distributiva.

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

Paso 12.1.9

Multiplica $2$ por $1$ .

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

Paso 12.1.10

Multiplica $2 (- \frac{2}{e})$ .

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Paso 12.1.10.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

Paso 12.1.10.2

Combina $- 2$ y $\frac{2}{e}$ .

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

Paso 12.1.10.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 + \frac{- 4}{e}$

Paso 12.1.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{6}{e} + 5 + 2 - \frac{4}{e}$

Paso 12.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 + 2 + \frac{- 6 - 4}{e}$

Paso 12.3

Resta $4$ de $- 6$ .

$5 + 2 + \frac{- 10}{e}$

Paso 12.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 + 2 - \frac{10}{e}$

Paso 12.5

Suma $5$ y $2$ .

$7 - \frac{10}{e}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$7 - \frac{10}{e}$

Forma decimal:

$3.32120558 \dots$

Paso 14