Cálculo Ejemplos

$\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 3}{x - 2} d x$

Paso 1

Divide $2 x^{2} + 7 x - 3$ por $x - 2$ .

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Paso 1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$2$

$2 x^{2}$

$7 x$

$3$

Paso 1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$2 x$
	$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$

Paso 1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			+	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Paso 1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{2} - 4 x$ .

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Paso 1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$

Paso 1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$2 x$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$

Paso 1.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $11 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$

Paso 1.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$
					+	$11 x$	-	$22$

Paso 1.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $11 x - 22$ .

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$
					-	$11 x$	+	$22$

Paso 1.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$2 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$3$
			-	$2 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$11 x$	-	$3$
					-	$11 x$	+	$22$
							+	$19$

Paso 1.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\int 2 x + 11 + \frac{19}{x - 2} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 x d x + \int 11 d x + \int \frac{19}{x - 2} d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int x d x + \int 11 d x + \int \frac{19}{x - 2} d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 11 d x + \int \frac{19}{x - 2} d x$

Paso 5

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{19}{x - 2} d x$

Paso 6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{19}{x - 2} d x$

Paso 7

Dado que $19$ es constante con respecto a $x$ , mueve $19$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 19 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 8

Sea $u = x - 2$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = x - 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 8.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 8.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 19 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 19 (\ln (| u |) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$x^{2} + 11 x + 19 \ln (| u |) + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 2$ .

$x^{2} + 11 x + 19 \ln (| x - 2 |) + C$