Cálculo Ejemplos

$\int \frac{z}{e^{z}} d z$

Paso 1

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1

Niega el exponente de $e^{z}$ y quítalo del denominador.

$\int z {(e^{z})}^{- 1} d z$

Paso 1.2

Multiplica los exponentes en ${(e^{z})}^{- 1}$ .

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Paso 1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int z e^{z \cdot - 1} d z$

Paso 1.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $z$ .

$\int z e^{- 1 \cdot z} d z$

Paso 1.2.3

Reescribe $- 1 z$ como $- z$ .

$\int z e^{- z} d z$

Paso 2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = z$ y $d v = e^{- z}$ .

$z (- e^{- z}) - \int - e^{- z} d z$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $z$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$z (- e^{- z}) - - \int e^{- z} d z$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$z (- e^{- z}) + 1 \int e^{- z} d z$

Paso 4.2

Multiplica $\int e^{- z} d z$ por $1$ .

$z (- e^{- z}) + \int e^{- z} d z$

Paso 5

Sea $u = - z$ . Entonces $d u = - d z$ , de modo que $- d u = d z$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = - z$ . Obtén $\frac{d u}{d z}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $- z$ .

$\frac{d}{d z} [- z]$

Paso 5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- z$ con respecto a $z$ es $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{d}{d z} [z]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$z (- e^{- z}) + \int - e^{u} d u$

Paso 6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$z (- e^{- z}) - \int e^{u} d u$

Paso 7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$

Paso 8

Reescribe $z (- e^{- z}) - (e^{u} + C)$ como $- z e^{- z} - e^{u} + C$ .

$- z e^{- z} - e^{u} + C$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- z$ .

$- z e^{- z} - e^{- z} + C$