Cálculo Ejemplos

$\int x \cos (4 x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = \cos (4 x)$ .

$x (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $\sin (4 x)$ .

$x \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Paso 2.2

Combina $x$ y $\frac{\sin (4 x)}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \int \sin (4 x) d x)$

Paso 4

Sea $u = 4 x$ . Entonces $d u = 4 d x$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 4 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Paso 4.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Paso 5

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{\sin (u)}{4} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \sin (u) d u$

Paso 7.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} \int \sin (u) d u$

Paso 8

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C)$

Paso 9

Reescribe $\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C)$ como $\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16} + C$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 x$ .

$\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (4 x)}{16} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} x \sin (4 x) + \frac{1}{16} \cos (4 x) + C$