Cálculo Ejemplos

$\int \frac{1}{4 - x^{2}} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{2^{2} - x^{2}}$

Paso 1.1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x$ .

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

Paso 1.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{2 + x}$

Paso 1.1.3

$\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$

Paso 1.1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(2 + x) (2 - x)$ .

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Paso 1.1.5

Cancela el factor común de $2 + x$ .

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Paso 1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Paso 1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Paso 1.1.6

Cancela el factor común de $2 - x$ .

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Paso 1.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (2 - x)}{2 - x} = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Paso 1.1.6.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Paso 1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.7.1

Cancela el factor común de $2 + x$ .

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Paso 1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (2 + x) (2 - x)}{2 + x} + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Paso 1.1.7.1.2

Divide $(A) (2 - x)$ por $1$ .

$1 = (A) (2 - x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Paso 1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 2 + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Paso 1.1.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 2 \cdot A + A (- x) + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Paso 1.1.7.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 2 \cdot A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Paso 1.1.7.5

Cancela el factor común de $2 - x$ .

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Paso 1.1.7.5.1

Cancela el factor común.

$1 = 2 A - A x + \frac{(B) (2 + x) (2 - x)}{2 - x}$

Paso 1.1.7.5.2

Divide $(B) (2 + x)$ por $1$ .

$1 = 2 A - A x + (B) (2 + x)$

Paso 1.1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 2 A - A x + B \cdot 2 + B x$

Paso 1.1.7.7

Mueve $2$ a la izquierda de $B$ .

$1 = 2 A - A x + 2 B + B x$

Paso 1.1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.8.1

Mueve $A$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Paso 1.1.8.2

Reordena $B$ y $x$ .

$1 = 2 A - x A + 2 B + B x$

Paso 1.1.8.3

Mueve $2 B$ .

$1 = 2 A - x A + B x + 2 B$

Paso 1.1.8.4

Mueve $2 A$ .

$1 = - x A + B x + 2 A + 2 B$

Paso 1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 1 A + B$

Paso 1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 2 A + 2 B$

Paso 1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = 2 A + 2 B$

Paso 1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Resuelve $B$ en $0 = - 1 A + B$ .

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Paso 1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $- 1 A + B = 0$ .

$- 1 A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Paso 1.3.1.2

Reescribe $- 1 A$ como $- A$ .

$- A + B = 0$

$1 = 2 A + 2 B$

Paso 1.3.1.3

Suma $A$ a ambos lados de la ecuación.

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

$B = A$

$1 = 2 A + 2 B$

Paso 1.3.2

Reemplaza todos los casos de $B$ por $A$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $1 = 2 A + 2 B$ por $A$ .

$1 = 2 A + 2 (A)$

$B = A$

Paso 1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.2.2.1

Suma $2 A$ y $2 A$ .

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

$1 = 4 A$

$B = A$

Paso 1.3.3

Resuelve $A$ en $1 = 4 A$ .

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Paso 1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

$B = A$

Paso 1.3.3.2

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.2.1

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

$B = A$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

$A = \frac{1}{4}$

$B = A$

Paso 1.3.4

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{4}$ en cada ecuación.

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Paso 1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $B = A$ por $\frac{1}{4}$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.4.2.1

Elimina los paréntesis.

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

Paso 1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$B = \frac{1}{4}, A = \frac{1}{4}$

Paso 1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{2 + x} + \frac{B}{2 - x}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 + x} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Paso 1.5.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2 + x}$ .

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{\frac{1}{4}}{2 - x}$

Paso 1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2 - x}$

Paso 1.5.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{2 - x}$ .

$\int \frac{1}{4 (2 + x)} + \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{4 (2 + x)} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{2 + x} d x + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Paso 4

Sea $u_{1} = 2 + x$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.1

Deja $u_{1} = 2 + x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $2 + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Paso 5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{4 (2 - x)} d x$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 - x} d x$

Paso 7

Sea $u_{2} = 2 - x$ . Entonces $d u_{2} = - d x$ , de modo que $- d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.1

Deja $u_{2} = 2 - x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 7.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Paso 10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{4} (- (\ln (| u_{2} |) + C))$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{4} (- \ln (| u_{2} |)) + C$

Paso 11.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u_{1} |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} + C$

Paso 12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 + x$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{4} + C$

Paso 12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 - x$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{\ln (| 2 - x |)}{4} + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$\frac{1}{4} \ln (| 2 + x |) - \frac{1}{4} \ln (| 2 - x |) + C$