Cálculo Ejemplos

$f (x) = e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

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Paso 1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Paso 1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x^{2} + 3$ .

$e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.2.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + \frac{d}{d x} [3])$

Paso 1.2.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)$

Paso 1.2.6

Suma $14 x$ y $0$ .

$e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Reordena los factores de $e^{7 x^{2} + 3} (14 x)$ .

$14 e^{7 x^{2} + 3} x$

Paso 1.3.2

Reordena los factores en $14 e^{7 x^{2} + 3} x$ .

$f' (x) = 14 x e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 x e^{7 x^{2} + 3}$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 x^{2} + 3$ .

$14 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$14 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 x^{2} + 3$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.4

Multiplica $2$ por $7$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.5

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.6

Suma $14 x$ y $0$ .

$14 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$14 (x^{1} x (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$14 (x^{1} x^{1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$14 (x^{1 + 1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$14 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.8.2

Mueve $14$ a la izquierda de $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$14 (x^{2} (14 \cdot e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Paso 2.10

Multiplica $e^{7 x^{2} + 3}$ por $1$ .

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

Paso 2.11

Simplifica.

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Paso 2.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$14 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 2.11.2

Multiplica $14$ por $14$ .

$196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 2.11.3

Reordena los términos.

$196 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 2.11.4

Reordena los factores en $196 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$ .

$f'' (x) = 196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 14 e^{7 x^{2} + 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $196$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $196 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ con respecto a $x$ es $196 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$196 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ .

$196 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

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Paso 3.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$196 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.9

Multiplica $2$ por $7$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.10

Suma $14 x$ y $0$ .

$196 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.11

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.11.1

Mueve $x$ .

$196 (x \cdot x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.11.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 3.2.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$196 (x^{1} x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$196 (x^{1 + 2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.11.3

Suma $1$ y $2$ .

$196 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.2.12

Mueve $14$ a la izquierda de $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [14 e^{7 x^{2} + 3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $14$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $14 e^{7 x^{2} + 3}$ con respecto a $x$ es $14 \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

Paso 3.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 x^{2} + 3$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3])$

Paso 3.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))$

Paso 3.3.4

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))$

Paso 3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]))$

Paso 3.3.6

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0))$

Paso 3.3.7

Multiplica $2$ por $7$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0))$

Paso 3.3.8

Suma $14 x$ y $0$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 14 (e^{7 x^{2} + 3} (14 x))$

Paso 3.3.9

Multiplica $14$ por $14$ .

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Paso 3.4

Simplifica.

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Paso 3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$196 (x^{3} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 196 (e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Paso 3.4.2

Combina los términos.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $14$ por $196$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3})) + 196 (e^{7 x^{2} + 3} (2 x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Paso 3.4.2.2

Multiplica $2$ por $196$ .

$2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 392 (e^{7 x^{2} + 3} (x)) + 196 e^{7 x^{2} + 3} x$

Paso 3.4.2.3

Suma $392 e^{7 x^{2} + 3} x$ y $196 e^{7 x^{2} + 3} x$ .

$2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$

Paso 3.4.3

Reordena los términos.

$2744 e^{7 x^{2} + 3} x^{3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$

Paso 3.4.4

Reordena los factores en $2744 e^{7 x^{2} + 3} x^{3} + 588 e^{7 x^{2} + 3} x$ .

$f''' (x) = 2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 x e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3} + 588 x e^{7 x^{2} + 3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Como $2744$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2744 x^{3} e^{7 x^{2} + 3}$ con respecto a $x$ es $2744 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$2744 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{7 x^{2} + 3}] + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ .

$2744 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2744 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.9

Multiplica $2$ por $7$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.10

Suma $14 x$ y $0$ .

$2744 (x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.11

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.11.1

Mueve $x$ .

$2744 (x \cdot x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.11.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 4.2.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2744 (x^{1} x^{3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2744 (x^{1 + 3} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.11.3

Suma $1$ y $3$ .

$2744 (x^{4} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.2.12

Mueve $14$ a la izquierda de $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [588 x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

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Paso 4.3.1

Como $588$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $588 x e^{7 x^{2} + 3}$ con respecto a $x$ es $588 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 \frac{d}{d x} [x e^{7 x^{2} + 3}]$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{7 x^{2} + 3}$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x \frac{d}{d x} [e^{7 x^{2} + 3}] + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 7 x^{2} + 3$ .

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Paso 4.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $7 x^{2} + 3$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 3]) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.4

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{2} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.5

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{2}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (7 (2 x) + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Paso 4.3.9

Multiplica $2$ por $7$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x + 0)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Paso 4.3.10

Suma $14 x$ y $0$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x (e^{7 x^{2} + 3} (14 x)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Paso 4.3.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1} x (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Paso 4.3.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1} x^{1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Paso 4.3.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{1 + 1} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Paso 4.3.14

Suma $1$ y $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3} \cdot (14)) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Paso 4.3.15

Mueve $14$ a la izquierda de $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 \cdot e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} \cdot 1)$

Paso 4.3.16

Multiplica $e^{7 x^{2} + 3}$ por $1$ .

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

Paso 4.4

Simplifica.

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Paso 4.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3}) + e^{7 x^{2} + 3})$

Paso 4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2744 (x^{4} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 4.4.3

Combina los términos.

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Paso 4.4.3.1

Multiplica $14$ por $2744$ .

$38416 (x^{4} (e^{7 x^{2} + 3})) + 2744 (e^{7 x^{2} + 3} (3 x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 4.4.3.2

Multiplica $3$ por $2744$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 (e^{7 x^{2} + 3} (x^{2})) + 588 (x^{2} (14 e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 4.4.3.3

Multiplica $14$ por $588$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 8232 (x^{2} (e^{7 x^{2} + 3})) + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 4.4.3.4

Suma $8232 e^{7 x^{2} + 3} x^{2}$ y $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ .

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Paso 4.4.3.4.1

Mueve $e^{7 x^{2} + 3}$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 4.4.3.4.2

Suma $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ y $8232 x^{2} e^{7 x^{2} + 3}$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 4.4.4

Reordena los términos.

$38416 e^{7 x^{2} + 3} x^{4} + 16464 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 4.4.5

Reordena los factores en $38416 e^{7 x^{2} + 3} x^{4} + 16464 e^{7 x^{2} + 3} x^{2} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$ .

$f^{4} (x) = 38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$ .

$38416 x^{4} e^{7 x^{2} + 3} + 16464 x^{2} e^{7 x^{2} + 3} + 588 e^{7 x^{2} + 3}$