Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} + 27}$ como ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 27$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 27$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 1.7

Combina fracciones.

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Paso 1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 1.7.3

Mueve ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))$

Paso 1.10

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Paso 1.11

Simplifica los términos.

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Paso 1.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Paso 1.11.2

Combina $2$ y $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Paso 1.11.3

Combina $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.4

Cancela el factor común.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.11.5

Reescribe la expresión.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.3

Simplifica.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.4.2

Multiplica ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 27$ .

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Paso 2.5.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 27$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.5.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 27$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.10

Combina fracciones.

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Paso 2.10.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.10.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.10.3

Mueve ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.10.4

Combina $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)}{x^{2} + 27}$

Paso 2.11

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))}{x^{2} + 27}$

Paso 2.13

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 27}$

Paso 2.14

Combina fracciones.

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Paso 2.14.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 27}$

Paso 2.14.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 27}$

Paso 2.14.3

Combina $- 2$ y $\frac{x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 27}$

Paso 2.14.4

Combina $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ y $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.16

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.18

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.19

Factoriza $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.20

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.20.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.20.2

Cancela el factor común.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.20.3

Reescribe la expresión.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.21

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.22

Para escribir ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.24

Multiplica ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.24.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.24.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.24.3

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.24.4

Divide $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 27) - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.25

Simplifica ${(x^{2} + 27)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 27 - x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.26

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.27

Suma $0$ y $27$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$

Paso 2.28

Reescribe $\frac{\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 27}$ como un producto.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 27}$

Paso 2.29

Multiplica $\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x^{2} + 27}$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 27)}$

Paso 2.30

Multiplica ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 27$ sumando los exponentes.

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Paso 2.30.1

Multiplica ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ por $x^{2} + 27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.30.1.1

Eleva $x^{2} + 27$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 27)}$

Paso 2.30.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Paso 2.30.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Paso 2.30.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Paso 2.30.4

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = \frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1.1

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$ con respecto a $x$ es $27 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}})$

Paso 3.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}$ como ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

Paso 3.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 3.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

Paso 3.1.2.2.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.2.2.2.1

Combina $\frac{3}{2}$ y $- 1$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

Paso 3.1.2.2.2.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3}{2}})$

Paso 3.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = 27 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}})$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 27$ .

$f''' (x) = 27 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 27$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.6.2

Resta $2$ de $- 3$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.7

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.7.2

Combina ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ y $\frac{3}{2}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.7.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.7.3.2

Mueve ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{5}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 27 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.7.3.3

Multiplica $- 1$ por $27$ .

$f''' (x) = - 27 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))$

Paso 3.7.4

Combina $\frac{3}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ y $- 27$ .

$f''' (x) = \frac{3 \cdot - 27}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 3.7.5

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.5.1

Multiplica $3$ por $- 27$ .

$f''' (x) = \frac{- 81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 3.7.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)$

Paso 3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))$

Paso 3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))$

Paso 3.10

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Paso 3.11

Simplifica los términos.

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Paso 3.11.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f''' (x) = - \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

Paso 3.11.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Paso 3.11.3

Combina $- 2$ y $\frac{81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 2 \cdot 81}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Paso 3.11.4

Multiplica $- 2$ por $81$ .

$f''' (x) = \frac{- 162}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

Paso 3.11.5

Combina $\frac{- 162}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ y $x$ .

$f''' (x) = \frac{- 162 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.11.6

Factoriza $2$ de $- 162 x$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.12

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.12.1

Factoriza $2$ de $2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}$

Paso 3.12.2

Cancela el factor común.

$f''' (x) = \frac{2 (- 81 x)}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.12.3

Reescribe la expresión.

$f''' (x) = \frac{- 81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 3.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f''' (x) = - \frac{81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 4

Obtén la cuarta derivada.

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Paso 4.1

Como $- 81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{81 x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$ con respecto a $x$ es $- 81 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}$

Paso 4.2

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

Paso 4.3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 4.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.3.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

Paso 4.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.3.3

Multiplica ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ y $g (x) = x^{2} + 27$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} + 27$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{5}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 27$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.6

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.8.2

Resta $2$ de $5$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.9

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.1

Combina $\frac{5}{2}$ y ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.9.2

Combina $\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ y $x$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.10

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 27$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.12

Como $27$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $27$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.13

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.13.1

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.13.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 2 \frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.13.3

Combina $- 2$ y $\frac{5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 (5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.13.4

Multiplica $5$ por $- 2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.13.5

Combina $\frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ y $x$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.14

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.15

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.16

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.17

Suma $1$ y $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.18

Factoriza $2$ de $- 10 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.19

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.19.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.19.2

Cancela el factor común.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.19.3

Reescribe la expresión.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.19.4

Divide $- 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.20

Factoriza ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ de ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.20.1

Mueve ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.20.2

Factoriza ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ de ${(x^{2} + 27)}^{\frac{5}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.20.3

Factoriza ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ de $- 5 x^{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.20.4

Factoriza ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ de ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.21

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.21.1

Cancela el factor común.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 27)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.21.2

Reescribe la expresión.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} ((x^{2} + 27) - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.22

Simplifica.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} + 27 - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.23

Resta $5 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{{(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}} (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{5}}$

Paso 4.24

Mueve ${(x^{2} + 27)}^{\frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}}}$

Paso 4.25

Multiplica ${(x^{2} + 27)}^{5}$ por ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.25.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5 - \frac{3}{2}}}$

Paso 4.25.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Paso 4.25.3

Combina $5$ y $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Paso 4.25.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{5 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Paso 4.25.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.25.5.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{10 - 3}{2}}}$

Paso 4.25.5.2

Resta $3$ de $10$ .

$f^{4} (x) = - 81 \frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.26

Combina $- 81$ y $\frac{- 4 x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 81 (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.27

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = - \frac{(81) (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28

Simplifica.

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Paso 4.28.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 81 \cdot 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.28.2.1

Multiplica $- 4$ por $81$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 324 x^{2} + 81 \cdot 27}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28.2.2

Multiplica $81$ por $27$ .

$f^{4} (x) = - \frac{- 324 x^{2} + 2187}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28.3

Factoriza $81$ de $- 324 x^{2} + 2187$ .

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Paso 4.28.3.1

Factoriza $81$ de $- 324 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 2187}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28.3.2

Factoriza $81$ de $2187$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2}) + 81 (27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28.3.3

Factoriza $81$ de $81 (- 4 x^{2}) + 81 (27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 4 x^{2} + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28.4

Factoriza $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2}) + 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28.5

Reescribe $27$ como $- 1 (- 27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2}) - 1 \cdot - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28.6

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2}) - 1 (- 27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- (4 x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28.7

Reescribe $- (4 x^{2} - 27)$ como $- 1 (4 x^{2} - 27)$ .

$f^{4} (x) = - \frac{81 (- 1 (4 x^{2} - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f^{4} (x) = \frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 4.28.9

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}})$

Paso 4.28.10

Multiplica $\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$

Paso 5

La cuarta derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{81 (4 x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{7}{2}}}$