Cálculo Ejemplos

$\int x \ln (3 + x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (3 + x)$ y $d v = x$ .

$\ln (3 + x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\ln (3 + x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 2.2

Combina $\ln (3 + x)$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x + 3} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x + 3} d x)$

Paso 4

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{x + 3}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x + 3} d x$

Paso 5

Divide $x^{2}$ por $x + 3$ .

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Paso 5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Paso 5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$3 x$

Paso 5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + 3 x$ .

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$

Paso 5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$

Paso 5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

Paso 5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$

Paso 5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					-	$3 x$	-	$9$

Paso 5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x - 9$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$

Paso 5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$3$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$3 x$	+	$0$
					+	$3 x$	+	$9$
							+	$9$

Paso 5.11

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int x - 3 + \frac{9}{x + 3} d x$

Paso 6

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int x d x + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 3 d x + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

Paso 8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + \int \frac{9}{x + 3} d x)$

Paso 9

Dado que $9$ es constante con respecto a $x$ , mueve $9$ fuera de la integral.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Paso 10

Sea $u = x + 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 10.1

Deja $u = x + 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 10.1.1

Diferencia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Paso 10.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 10.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 10.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 10.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 10.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 11

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C - 3 x + C + 9 (\ln (| u |) + C))$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

Paso 12.2

Simplifica.

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Paso 12.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (3 + x)$ .

$\frac{\ln (3 + x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

Paso 12.2.2

Combina $\frac{\ln (3 + x)}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) + C$

Paso 12.2.3

Para escribir $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

Paso 12.2.4

Combina $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Paso 12.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Paso 12.2.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - \frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

Paso 12.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 12.2.8

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 12.2.9

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 12.2.9.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 12.2.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.2.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 12.2.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 12.2.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 12.2.9.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| u |))}{2} + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (\frac{x^{2}}{2} - 3 x + 9 \ln (| x + 3 |))}{2} + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Para escribir $9 \ln (| x + 3 |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2}}{2} + 9 \ln (| x + 3 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

Paso 14.2

Combina $9 \ln (| x + 3 |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{9 \ln (| x + 3 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Paso 14.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2} + 9 \ln (| x + 3 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

Paso 14.4

Multiplica $2$ por $9$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x + \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2})}{2} + C$

Paso 14.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} - (- 3 x) - \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2}}{2} + C$

Paso 14.6

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (3 + x) x^{2} + 3 x - \frac{x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |)}{2}}{2} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} (\ln (3 + x) x^{2} + 3 x - \frac{1}{2} (x^{2} + 18 \ln (| x + 3 |))) + C$