Cálculo Ejemplos

$\int_{1}^{e} \ln (x) d x$

Paso 1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (x)$ y $d v = 1$ .

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Paso 2.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x$

Paso 2.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x$

Paso 3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e})$

Paso 4

Sustituye y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Evalúa $\ln (x) x$ en $e$ y en $1$ .

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e})$

Paso 4.2

Evalúa $x$ en $e$ y en $1$ .

$(\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1)$

Paso 4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1)$

Paso 5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$1 e - \ln (1) - (e - 1)$

Paso 5.1.2

Multiplica $e$ por $1$ .

$e - \ln (1) - (e - 1)$

Paso 5.1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$e - 0 - (e - 1)$

Paso 5.1.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$e + 0 - (e - 1)$

Paso 5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$e + 0 - e - - 1$

Paso 5.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e + 0 - e + 1$

Paso 5.2

Suma $e$ y $0$ .

$e - e + 1$

Paso 5.3

Resta $e$ de $e$ .

$0 + 1$

Paso 5.4

Suma $0$ y $1$ .

$1$